[論文レビュー] Intersection Theory, Integrable Hierarchies and Topological Field Theory

Robbert Dijkgraaf|ArXiv.org|Jan 2, 1992

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、リーマン面のモジュライ空間上の交線論、KdV型の可積分階層、行列モデル、位相的場理論の間の深い関係を確立する。行列積分がコンツェビッチ型である場合、それが最小( p,1)位相的モデルのτ関数として自然に生じることを示し、ベーカー＝アキエツェル関数が一般化されたエアリー関数として表現されることにより、ストリング方程式を通じて、見た目は異なる数学的・物理的枠組みが統一される。

ABSTRACT

In these lecture notes we review the various relations between intersection theory on the moduli space of Riemann surfaces, integrable hierarchies of KdV type, matrix models, and topological quantum field theories. We explain in particular why matrix integrals of the type considered by Kontsevich naturally appear as tau-functions associated to minimal models. Our starting point is the extremely simple form of the string equation for the topological (p,1) models, where the so-called Baker-Akhiezer function is given by a (generalized) Airy function.

研究の動機と目的

• リーマン面のモジュライ空間上の交線論を可積分階層および位相的場理論と統一すること。
• コンツェビッチ型行列積分が最小モデル位相的場理論におけるτ関数としてどのように生じるかを説明すること。
• ストリング方程式が(p,1)モデルにおいて果たす役割と、一般化されたエアリー関数によるその解法を明確にすること。
• 行列モデル形式と位相的弦理論におけるモジュライ空間の幾何学の間の橋渡しをすること。
• 位相的モデルを通じて、量子場理論、代数的幾何学、可積分系を結びつける概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• (p,1)位相的モデルのストリング方程式を出発点とし、ベーカー＝アキエツェル関数が一般化されたエアリー関数として与えられることを用いる。
• 特にKdV階層を用いた可積分系の技法を応用し、モデルのτ関数構造を記述する。
• 安定リーマン面のモジュライ空間上の交線論を用いて、相関関数および分配関数を計算する。
• 分配関数を行列積分として導出し、KdV階層のτ関数と等価であることを示す。
• 位相的場理論におけるダイクグラーフ＝ウィッテンのアプローチを用い、幾何的および代数的構造を結びつける。
• 交線数の母関数が行列モデルの分配関数と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンツェビッチ型行列積分が最小位相的場理論におけるτ関数としてどのように生じるのか。
• RQ2 一般化されたエアリー関数が(p,1)モデルのストリング方程式を解く際に果たす正確な役割は何か。
• RQ3 リーマン面のモジュライ空間上の交線数は、位相的場理論の分配関数とどのように関係しているか。
• RQ4 KdV階層は、τ関数を通じてどのように曲線のモジュライ空間の幾何を符号化しているか。
• RQ5 位相的場理論、可積分系、およびモジュライ空間上の交線論を統一する数学的構造は何か。

主な発見

• (p,1)位相的モデルの分配関数が、コンツェビッチ型の行列積分と等価であることが示された。
• (p,1)モデルにおけるベーカー＝アキエツェル関数が、明示的に一般化されたエアリー関数として与えられ、ストリング方程式が解かれた。
• 安定リーマン面のモジュライ空間上の交線数は、行列モデルの分配関数を記述する同一のτ関数によって生成される。
• KdV階層は、交線数の母関数を再現する完全可積分系を提供する。
• ストリング方程式とW1+∞代数の対称性の同定を通じて、行列モデルと位相的重力の対応関係が確立された。
• 本稿は、コンツェビッチ行列モデルがそのτ関数を通じて、曲線のモジュライ空間上の交線論の全構造を捉えていることを確認した。