[論文レビュー] Intersection Theory on Toric Varieties

William Fulton, Bernd Sturmfels|ArXiv.org|Mar 1, 1994

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、完全なトーリック多様体上の操作的チャウコホモロジー類と、関連するファン上のミンコフスキー重みの間の正確な対応を確立する。チャウコホモロジー類の積は格子のずれ操作に対応し、有理係数を用いる場合、チャウ環が固定されたトーラスのすべてのコンパクト化に関する直接極限であるマクマレンの多面体代数に埋め込まれることを証明する。

ABSTRACT

The operational Chow cohomology classes of a complete toric variety are identified with certain functions, called Minkowski weights, on the corresponding fan. The natural product of Chow cohomology classes makes the Minkowski weights into a commutative ring; the product is computed by a displacement in the lattice, which corresponds to a deformation in the toric variety. We show that, with rational coefficients, this ring embeds in McMullen's polytope algebra, and that the polytope algebra is the direct limit of these Chow rings, over all compactifications of a given torus. In the nonsingular case, the Minkowski weight corresponding to the Todd class is related to a certain Ehrhart polynomial.

研究の動機と目的

• 完全なトーリック多様体のファン上のミンコフスキー重みと操作的チャウコホモロジー類の間の標準的同型を確立すること。
• チャウコホモロジーの自然な積構造を、ミンコフスキー重み上の格子のずれ操作を用いて特徴付けること。
• 有理係数を用いる場合、トーリック多様体のチャウ環がマクマレンの多面体代数に埋め込まれることを示すこと。
• 多面体代数が、固定されたトーラスのすべてのコンパクト化に関するチャウ環の直接極限として得られることを示すこと。
• 特異でない場合のTodd類に対応するミンコフスキー重みが、多面体のEhrhart多項式とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 完全なトーリック多様体の操作的チャウコホモロジー類を、ファンの単体上の関数（ミンコフスキー重み）として特定する。
• 格子上のずれを用いてチャウコホモロジー類の積を定義し、幾何的にはトーリック多様体における変形に対応する。
• ファンの構造とトーラス作用を用いて、ミンコフスキー重みの積を格子上の組合せ的演算として定義する。
• 有理係数を用いたチャウ環からマクマレンの多面体代数への環準同型を構成する。
• 直接極限の普遍性を活用して、多面体代数が固定されたトーラスのすべてのコンパクト化に関するチャウ環の直接極限として生じることを示す。
• 特異でない場合、生成関数を用いてTodd類に対応するミンコフスキー重みと多面体のEhrhart多項式を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なトーリック多様体上の操作的チャウコホモロジー類は、どのように組合せ的に記述できるか？
• RQ2 トーリック多様体のチャウコホモロジーにおける積構造の幾何的および組合せ的解釈は何か？
• RQ3 トーリック多様体のチャウ環は、マクマレンの多面体代数とどのように関係するか？
• RQ4 特異でないトーリック多様体のチャウコホモロジーにおけるTodd類の役割は何か？ そしてEhrhart理論とどのように関連するか？
• RQ5 多面体代数は、固定されたトーラスのトーリックコンパクト化のチャウ環の直接極限として実現可能か？

主な発見

• 完全なトーリック多様体上の操作的チャウコホモロジー類は、ファン上のミンコフスキー重みと標準的に同一視される。
• チャウコホモロジー類の積は、格子上のずれ操作に対応し、幾何的にはトーリック多様体における変形を反映する。
• 有理係数を用いる場合、トーリック多様体のチャウ環はマクマレンの多面体代数に部分環として埋め込まれる。
• マクマレンの多面体代数は、固定されたトーラスのすべてのコンパクト化に関するチャウ環の直接極限と同型である。
• 特異でない場合、Todd類に対応するミンコフスキー重みは、Ehrhart多項式の生成関数と関係している。
• ミンコフスキー重みの組合せ的積は、格子のずれを介してチャウ環における交線論的積を符号化する。