[論文レビュー] Intersections of Class Fields

Lars Kühne|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は類体論を用いて、相異なる数体の最大アーベル拡大の交叉に新たな制約を確立し、それによりヘーグナー点の線形独立性に関する結果を強化するとともに、モジュラー曲線の積の部分多様体上の特別点に対する有効な境界を得る。これはアンドレ＝オールト予想への貢献である。主な結果は、同一の完全実体を共有する $ r $ 個のCM体が存在する場合、そのような交叉のガロア群に対する一様な境界で、$ 2^{r+1} $ によって消滅することが示される。

ABSTRACT

Using class field theory, we prove a restriction on the intersection of the maximal abelian extensions associated with different number fields. This restriction is then used to improve a result of Rosen and Silverman about the linear independence of Heegner points. In addition, it yields effective restrictions for the special points lying on an algebraic subvariety in a product of modular curves. The latter application is related to the André-Oort conjecture.

研究の動機と目的

• 相異なる数体の最大アーベル拡大の交叉に、類体論を用いて一般な制約を確立すること。
• ローゼンとシルバーマンのヘーグナー点の線形独立性に関する先行結果を、CM体の除外クラスを除去することで改善すること。
• モジュラー曲線の積の部分多様体上の特別点に関連する順序の判別式に対する有効な境界を提供すること。
• アンドレ＝オールト予想の有効版を $ Y(1)^n $ に対して貢献するために、特別点の例外的集合を境界づけること。

提案手法

• 類体論を用いて、$ L = K_r \prod_{i=1}^{r-1} K_i^{\text{ab}} $ とおくとき、$ K_r^\text{ab} \cap L $ のガロア群の annihilator に関する一般定理を導出する。
• 転送体 $ K^{\text{tf}} $ を導入することで、この定理を環類体に適用し、$ \operatorname{Gal}(K^{\text{rcf}}/K^{\text{tf}}) \approx \operatorname{Pic}(\mathcal{O}_F) $ を示す。
• ガロア群 $ \operatorname{Gal}(K_r^{\text{tf}} \cap L / K_r) $ に対する annihilator 界 $ 2^{r+1} $ を用いて、転送体の交叉を制約する。
• この界をシーゲル＝タツァワの定理およびロムバールの有効なセールの開像定理と組み合わせ、有効な判別式界を導出する。
• 判別式界を用いて、$ X \subset Y(1)^n $ における可能性のあるCM点の数を制限し、有効な例外的集合 $ Z = Z' \cup Z'' $ を得る。
• ファイバー次元の上半連続性と代数幾何学を用いて、非自明なファイバー次元を持つ点の集合が、ある真のザリスキ閉部分集合 $ Z' $ に含まれることを示し、その次数と高さを有効に境界づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底体上、 pairwise な交叉が自明である $ r \geq 2 $ 個の相異なる数体の最大アーベル拡大の最大交叉は何か？
• RQ2 同一の完全実体を共有するCM体の数を用いて、環類体の交叉をどのように有効に境界づけられるか？
• RQ3 類体論を用いて、ローゼンとシルバーマンのヘーグナー点の独立性に関する結果におけるCM体の制限を有効に除去できるか？
• RQ4 部分多様体 $ Y(1)^n $ 上の特別点に関連する順序の判別式に、どのような有効な境界を置けるか？
• RQ5 幾何学的および類体論的制約を組み合わせることで、$ Y(1)^n $ 上のアンドレ＝オールト予想に対する有効な例外的集合を構成できるか？

主な発見

• $ r \geq 2 $ 個の同一の完全実体を共有する相異なるCM体が存在するとき、$ L = K_r \prod_{i=1}^{r-1} K_i^{\text{tf}} $ とおくと、ガロア群 $ \operatorname{Gal}(K_r^{\text{tf}} \cap L / K_r) $ は $ 2^{r+1} $ によって消滅する。
• 有効な定数 $ c_1 = c_1(E, \pi, r) > 0 $ が存在し、$ Y_0(N) $ 上の $ r $ 個のCM点に対して、それらのCM体が相異なる場合、またはその判別式が $ c_1 $ 未満であるか、またはモジュラーパラメトライゼーションによる像がランク $ r $ の自由 $ \mathbb{Z} $-加群を生成する。
• 部分多様体 $ X \subset Y(1)^n $ に対するアンドレ＝オールト型結果における例外的集合 $ Z $ は有効に境界づけられている。$ Z = Z' \cup Z'' $ であり、$ Z $ の次数と高さは $ X $ の次数と高さの関数として有効に境界づけられる。
• $ Z' $ は座標射影における正次元ファイバーを持つ点からなる集合であり、ザリスキ閉かつ次数と高さに有効な境界を持つ。
• $ Z'' $ は、そのCM順序の判別式が有効な境界 $ c_{11}(X) $ 未満である点からなる集合であり、これも次数と高さにおいて有効に境界づけられる。
• $ |\operatorname{disc}(\mathcal{O}_{i_0})| $ に対する境界 $ c_{11}(X) $ は、 annihilator 界 $ 2^{r+1} $、類体論、およびシーゲル＝タツァワの定理から導かれる。これにより、このような順序は有限個に限られる。