[論文レビュー] Intersections of essential minimal prime ideals

Ali Taherifar|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可換環における極小素理想的な素理想の交わりを、特に整域および $C(X)$ において、最小素理想スペクトラム $Σ$ の位相的性質を用いて調査する。$R_{K}(Σ)$、すなわち $D(a)$ の閉包がコンパクトであるような元の集合が、$Σ$ の局所コンパクト性およびほぼ局所コンパクト性を特徴づけることを示し、$C(X)$ においては、本質的極小素理想的な素理想の交わりが、アービトラリィ $C_F(X)$ に等しく、かつ $C_K(X)$ に等しいのは $I(X) = X_L$ かつ $C_K(X)$ が純粋であるときであることを証明する。主な貢献は、環論的イデアルと $X$ および $Σ$ の位相的性質との間の関係を、特に擬離散空間を通じて結びつけることにある。

ABSTRACT

Let $\mathcal{Z(R)}$ be the set of zero divisor elements of a commutative ring $R$ with identity and $\mathcal{M}$ be the space of minimal prime ideals of $R$ with Zariski topology. An ideal $I$ of $R$ is called strongly dense ideal or briefly $sd$-ideal if $I\subseteq \mathcal{Z(R)}$ and is contained in no minimal prime ideal. We denote by $R_{K}(\mathcal{M})$, the set of all $a\in R$ for which $\bar{D(a)}=\bar{\mathcal{M}\setminus V(a)}$ is compact. We show that $R$ has property $(A)$ and $\mathcal{M}$ is compact \ifif $R$ has no $sd$-ideal. It is proved that $R_{K}(\mathcal{M})$ is an essential ideal (resp., $sd$-ideal) \ifif $\mathcal{M}$ is an almost locally compact (resp., $\mathcal{M}$ is a locally compact non-compact) space. The intersection of essential minimal prime ideals of a reduced ring $R$ need not be an essential ideal. We find an equivalent condition for which any (resp., any countable) intersection of essential minimal prime ideals of a reduced ring $R$ is an essential ideal. Also it is proved that the intersection of essential minimal prime ideals of $C(X)$ is equal to the socle of C(X) (i.e., $C_{F}(X)=O^{βX\setminus I(X)}$). Finally, we show that a topological space $X$ is pseudo-discrete \ifif $I(X)=X_{L}$ and $C_{K}(X)$ is a pure ideal.

研究の動機と目的

• 可換環 $R$ における本質的極小素理想的な素理想の交わりが本質的である条件を、最小素理想スペクトラム $\mathcal{M}$ の位相的性質を用いて特徴づけること。
• $R_{K}(\mathcal{M})$、すなわち $\overline{D(a)}$ がコンパクトであるような元の集合が、$Σ$ の代数的構造と位相的コンパクト性の関係を明らかにする。
• $C(X)$ における本質的極小素理想的な素理想の交わりが、アービトラリィ $C_F(X)$ またはイデアル $C_K(X)$ に等しくなる条件を特定し、環論的イデアルと $X$ の位相的構造との関係を明らかにすること。
• $I(X) = X_L$ および $C_K(X)$ の純粋性を用いて、擬離散空間の特徴づけを確立すること。

提案手法

• $R_K(\mathcal{M})$ を、$\mathcal{M}$ 上のザリスキ位相における $\overline{D(a)}$ がコンパクトであるような $a \in R$ の集合として定義する。
• $z^0$-イデアル構造を用いて $R_K(\mathcal{M})$ を分析し、それが $z^0$-イデアルであることを示し、$Σ$ のコンパクト性に起因するその零集合または全集合の性質を特徴づける。
• $sd$-イデアル（強く稠密なイデアル）の概念を導入し、$\mathcal{Z}(R)$ に含まれるがいかなる極小素理想にも含まれないイデアルとして定義し、その存在を $Σ$ の位相的性質と関連付ける。
• $C(X)$ におけるアービトラリィ $C_F(X)$ の特徴づけを $O^{\beta X \setminus I(X)}$ を用いて行い、これと本質的極小素理想的な素理想の交わりを関連付ける。
• コンパクト台を持つ関数のイデアル $C_K(X)$ 及びその純粋性を用いて、それが本質的極小素理想的な素理想の交わりに等しくなる条件を特徴づける。
• $C_K(X) = O^{\beta X \setminus I(X)}$ と $I(X) = X_L = \bigcup_{f \in C_K(X)} \overline{X \setminus Z(f)}$ の同値性を確立し、位相的および代数的条件を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環 $R$ における本質的極小素理想的な素理想の交わりが本質的イデアルであるのはいつか？
• RQ2 $R_K(\mathcal{M})$ が本質的イデアルまたは $sd$-イデアルであるのはいつか？ そしてこれは $Σ$ の位相的構造とどのように関係するか？
• RQ3 $C(X)$ における本質的極小素理想的な素理想の交わりがアービトラリィ $C_F(X)$ に等しくなるのはいつか？
• RQ4 $C(X)$ における本質的極小素理想的な素理想の交わりが $C_K(X)$ に等しくなるのはいつか？
• RQ5 $X$ にどのような位相的条件を課すと、$C_K(X)$ が純粋イデアルであり、$I(X) = X_L$ となるか？ これにより擬離散空間が特徴づけられる。

主な発見

• $C(X)$ における本質的極小素理想的な素理想の交わりは、アービトラリィ $C_F(X)$ に等しく、すなわち、台が有限である関数の集合に等しい。
• $C(X)$ における本質的極小素理想的な素理想の交わりが $C_K(X)$ に等しいのは、$I(X) = X_L$ かつ $C_K(X)$ が純粋イデアルであるときであり、かつそのときに限る。
• $R_K(\mathcal{M})$ が本質的イデアルであるのは、$Σ$ がほぼ局所コンパクトであるときであり、かつそのときに限る。
• $R_K(\mathcal{M})$ が $sd$-イデアルであるのは、$Σ$ が局所コンパクトだがコンパクトでないときであり、かつそのときに限る。
• 位相的空間 $X$ が擬離散であるのは、$I(X) = X_L$ かつ $C_K(\cdot)$ が純粋イデアルであるときであり、かつそのときに限る。
• $C(X)$ において、本質的極小素理想的な素理想の交わりが本質的であるのは、$X$ の孤立点の集合が $X$ において稠密であるときであり、かつそのときに限る。