[論文レビュー] Intersections of special cycles on the Shimura variety for GU(1,2)

Ulrich Terstiege|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、GU(1,2)のシムーラ多様体における特殊サイクルの退化交差についてのクダラ＝ラポポート予想を証明し、p-分岐群のモジュライ空間上での特殊サイクルの局所的交差重複度とヘルミート的表現密度の導関数との間の明確な関係を確立する。主な結果は、非退化の場合でさえも、特殊サイクルのグローバルな交差重複度が、エーゼンスタイン級数の導関数のフーリエ係数と一致することを確認し、一般の予想の基礎的ケースを完成させる。

ABSTRACT

We establish a close connection between intersection multiplicities of special cycles on arithmetic models of the Shimura variety for GU(1,2) and Fourier coefficients of derivatives of certain incoherent Eisenstein series, confirming a conjecture of Kudla and Rapoport. The paper is divided into two parts. The first part is the bulk of the paper and investigates intersections of local special cycles which are defined on a certain moduli space of p-divisible groups. This moduli space of p-divisible groups can be used for the uniformization of the completion of the Shimura variety along the supersingular locus in the fiber at an inert prime p. We investigate the structure of local special cycles and of their intersections. In particular, we give an explicit description of the special fiber of a local special cycle. We then prove an explicit formula for the intersection multiplicity of three local special cycles and relate it to certain hermitian representation densities, also confirming a conjecture of Kudla and Rapoport. To this end, we also give an explicit inductive formula for the relevant hermitian representation densities α_p(1_s,T), where T is of the form diag(p^{a_1},...,p^{a_n}). In the second part, we apply the main result of the first part to prove the relation of intersection multiplicities of (global) special cycles and Fourier coefficients of derivatives of Eisenstein series.

研究の動機と目的

• GU(1,2)のシムーラ多様体における特殊サイクルの退化交差についてのクダラ＝ラポポート予想を証明すること。これは、このような退化が生じる最初のケースである。
• p-分岐群のモジュライ空間上での特殊サイクルの局所的交差重複度と、ヘルミート的表現密度の導関数との間の明確な対応関係を確立すること。
• n=2の非退化ケースをn=3の退化ケースに拡張し、一般予想の基礎的ケースを完成させること。
• グローバルな特殊サイクルの交差重複度が、エーゼンスタイン級数の導関数のフーリエ係数と一致することを確認すること。これは交差が退化している場合でも成り立つ。

提案手法

• 論文は、グローバル問題を、Z_p^2作用とp-主極性を持つp-分岐群のモジュライ空間上の局所的交差問題に還元する。
• 特殊サイクルは、Q_p^2上のヘルミート空間における特別なホモーモルフィズムによって定義され、特徴的な上昇の超特異p-分岐群と固定された基本的p-分岐群との間のホモーモルフィズム空間を用いる。
• 局所的交差重複度は、特別なホモーモルフィズムの基本行列を用いて計算され、これはQ_p^2上のヘルミート行列である。
• 論文は、ヘルミート的表現密度とその導関数の理論、特に関数W'_T,p(0, Φ_p)を用い、交差重複度と自動形式との関係を確立する。
• 自動形式の理論と算術的シーゲル＝ヴェイル公式を適用し、交差重複度をエーゼンスタイン級数の導関数のフーリエ係数と比較する。
• グローバル結果は、すべての関連するヘルミート空間からの寄与を比較し、n=3（奇数）のとき、自己双対的格子のU(Ṽ)-類が一意に存在することを用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊サイクルの交差重複度と、エーゼンスタイン級数の導関数のフーリエ係数との間のクダラ＝ラポポート予想は、退化交差の場合にも成り立つか？
• RQ2 p-分岐群のモジュライ空間上での特殊サイクルの局所的交差重複度は、GU(1,2)に対して、ヘルミート的表現密度の導関数として表現可能か？
• RQ3 GU(1,2)のシムーラ多様体上での特殊サイクルのグローバルな交差重複度は、エーゼンスタイン級数の導関数のフーリエ係数と等しいか。交差が退化している場合でも成り立つか？
• RQ4 Z_p^2作用とp-主極性を持つp-分岐群のモジュライ空間の構造は、交差重複度の計算にどのように影響するか？
• RQ5 n=3が奇数のとき、自己双対的格子のU(Ṽ)-類の一意性が、フーリエ係数への寄与のグローバル和を単純化する役割を果たすか？

主な発見

• GU(1,2)のp-分岐群のモジュライ空間上での特殊サイクルの局所的交差重複度は、定数倍を除いて、ヘルミート的表現密度の導関数W'_T,p(0, Φ_p)に等しい。
• GU(1,2)のシムーラ多様体上での特殊サイクルのグローバルな交差重複度は、エーゼンスタイン級数の導関数のフーリエ係数と一致し、退化ケースにおけるクダラ＝ラポポート予想が確認された。
• 交差重複度とエーゼンスタイン級数の導関数との関係を定数は行列Tに依存せず、非退化ケースで既知の定数と一致することが示された。
• n=3が奇数のとき、自己双対的格子のU(Ṽ)-類の一意性により、グローバル和における各ペア(V^#, V_0)の寄与は同一である。
• 証明は、局所的結果（定理5.2）がグローバル結果を示すことを示しており、一般に、局所的予想の証明がグローバルな主張を示すのに十分であることを確立した。