[論文レビュー] Intersections of two Grassmannians in $\mathbf{P}^9$

Lev Borisov, Andrei Căldăraru+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ℙ⁹における2つのグラスマンニアンGr(2,5)の交わりと、双対射影空間におけるそれらの射影的双対対応物の交わりを研究し、これらが変形同値かつ導来同値なカバレー・ヤウ3次元多様体をもたらし、それらが双有理同値ではないことを示している。主な結果は、カバレー・ヤウ3次元多様体に対する双有理Torelli問題の反例であり、導来同値性および変形同値性が双有理同値性を意味しないことを示しており、アフィン直線類の冪で消える差を持つ、グローテンディークの多様体の環における新しい例を提供している。

ABSTRACT

We study the intersection of two copies of $\mathrm{Gr}(2,5)$ embedded in $\mathbf{P}^9$, and the intersection of the two projectively dual Grassmannians in the dual projective space. These intersections are deformation equivalent, derived equivalent Calabi-Yau threefolds. We prove that generically they are not birational. As a consequence, we obtain a counterexample to the birational Torelli problem for Calabi-Yau threefolds. We also show that these threefolds give a new pair of varieties whose classes in the Grothendieck ring of varieties are not equal, but whose difference is annihilated by a power of the class of the affine line. Our proof of non-birationality involves a detailed study of the moduli stack of Calabi-Yau threefolds of the above type, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• ℙ⁹における2つのグラスマンニアンGr(2,5)の交わりおよびその射影的双対対応物の幾何学的・導来的性質を調査すること。
• このような交わりが、変形同値かつ導来同値である場合に、それらが双有理同値であるかどうかを特定すること。
• カバレー・ヤウ3次元多様体に対する双有理Torelli問題の反例を提供すること。
• 特にアフィン直線類の冪で消えるクラスに関して、これらの多様体がグローテンディークの多様体の環においてどのように振る舞うかを調査すること。

提案手法

• 同型写像φ₁, φ₂: ∧²V ≅ Wを介したGr(2,5)のℙ⁹への2つの埋め込みを構成し、X = Gr₁ ∩ Gr₂を定義する。
• 双対同型写像(φᵢ⁻¹)∗: ∧²V∨ ≅ W∨を介して、双対射影空間ℙ⁹∨における双対グラスマンニアンGrᵢ∨を定義し、Y = Gr₁∨ ∩ Gr₂∨を考察する。
• XとYが滑らかで、Hodge数h¹¹ = 1、h¹² = 51を満たすカバレー・ヤウ3次元多様体であり、有界導来カテゴリの導来同値性により、変形同値かつ導来同値であることを証明する。
• このようなカバレー・ヤウ3次元多様体のモジュライスタックに基づく線形化の議論を用いて、非双有理性を示し、X上の特定のねじれたバンドルの正則切断の消失に依拠する。
• グローテンディークの多様体の環を分析し、[X] − [Y]がアフィン直線類Lの冪で消えることを示すが、K₀(Var/k)においては[X] ≠ [Y]であることを確認する。
• 𝔽₁₀₃上での明示的Macaulay2計算により、アフィンチャートにおける3次元多様体の滑らかさを検証し、GPK 3二重ミラー構成の全体的な滑らかさを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の埋め込みに関して、ℙ⁹およびℙ⁹∨における交わりX = Gr₁ ∩ Gr₂およびY = Gr₁∨ ∩ Gr₂∨は双有理同値か？
• RQ2 変形同値かつ導来同値なカバレー・ヤウ3次元多様体は、必ずしも双有理同値である必要があるのか、それともこれらの同値性にもかかわらず非双有理同値である可能性があるのか？
• RQ3 グローテンディークの多様体の環において、クラスの差がアフィン直線類Lの冪で消えるが、クラス自体は等しくないような例を構成できるか？
• RQ4 GPK 3二重ミラーのモジュライスタックの構造は何か？ そして、それらはXとYの非双有理性をどのように示唆するか？
• RQ5 XとYの導来同値性および変形同値性は、それらのHodge構造の同型を意味するのか？ そして、これはTorelli問題にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 一般の同型写像φ₁, φ₂に関して、変形同値かつ導来同値であるにもかかわらず、カバレー・ヤウ3次元多様体X = Gr₁ ∩ Gr₂とY = Gr₁∨ ∩ Gr₂∨は双有理同値ではない。
• XとYは滑らかで、Hodge数h¹¹(X) = h¹¹(Y) = 1およびh¹²(X) = h¹²(Y) = 51を満たすカバレー・ヤウ3次元多様体である。
• 導来同値性Dᵇ(X) ≅ Dᵇ(Y)が成り立ち、この同値性はXとYの双対性と整合的であるため、「二重ミラー」と呼ぶにふさわしい。
• XとYは、積分Hodge構造がH³で同型であるが双有理同値でないため、カバレー・ヤウ3次元多様体に対する双有理Torelli問題の最初の既知の反例を提供する。
• グローテンディークの多様体の環においては[X] ≠ [Y]であるが、([X] − [Y])はアフィン直線類Lの冪で消えるため、K₀(Var/k)における非自明な関係の新しいタイプを示している。
• 𝔽₁₀₃上での明示的Macaulay2計算により、GPK 3二重ミラーがすべてのアフィンチャートで滑らかであることが確認され、構成の全体的な滑らかさが検証された。