[論文レビュー] Intertwining and the Markov uniqueness problem on path spaces

K. D. Elworthy, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、イト写像を用いてウィENER測度とブラウン運動測度の間の相互作用関係を確立することで、経路空間上のマルコフ一意性問題を調査する。弱微分可能性とマルコフ一意性がこれらの写像のもとで保存されることを証明し、先行研究のギャップを解消し、確率積分と条件付き期待値を用いた、経路空間上の発散作用素とソボレフ空間の一貫性のある定義を示している。

ABSTRACT

There are two open problem on the analysis of continuous paths on a Riemannian manifold, the Markov uniqueness and the independence of the closure of the differential operator $d$ on its initial domain. The operator $d$ acts naturally on $BC^1$ functions, one is concerned with its extensions to the $L^2$ spaces. With a suitable choice of an initial domain we denote by $D^{2,1}$ its closure under the graph norm. For the Wiener space, the domain of $d$ can be classified, as a consequence its extension is unique whether the initial domain is smooth cylindrical or in $BC^1$ etc. This has not shown to be the same when the measure is the probability distribution of any smooth elliptic diffusion. In an earlier paper, we have shown that the closure of $BC^\infty$ functions agree with that of smooth cylindrical functions, leaving an undesirable gap. The Markov uniqueness is essentially concerned with the problem whether there exists a unique Markov process on the path space whose Markov generator agrees with the infinite-dimensional Laplacian on $C^\infty$ cylindrical functions. Here we reduce Markov uniqueness to whether the pull back of $D^{2,1}$ by the ito map is $ D^{2,1}$ (i.e. a surjection). We also propose a possible approach for tackle this problem.

研究の動機と目的

• 経路空間 $C_{x_0}M$ 上のラプラシアンに対するマルコフ一意性問題を、確率過程とマルコフカルキュラスの相乗作用に着目して解消すること。
• 先行研究 [Elworthy-Li3] における経路空間上での異なるソボレフ空間構成法の同値性に関する主張の是正と拡張。
• イト写像によるベクトル場の押し出しを用いて、$C_{x_0}M$ 上の発散作用素が適切に定義され、連続的であることを確立すること。
• 弱微分可能性が $C_0\bbR^m$ 上の導関数の条件付き期待値から自然に生じることを示すこと。
• イト写像が経路空間解析における局所座標の代替として機能でき、重要な微分構造を保存することを示すこと。

提案手法

• イト写像 $\mathcal{I}_t$ を用いて、$C_0\bbR^m$ から $C_{x_0}M$ へベクトル場と導関数を引き戻し、微分可能性の性質の移行を可能にする。
• ビズムト接空間 $\mathcal{H}_\sigma$ を平行移動によるカマーマイター空間の像として定義し、その双対空間への自然等長同型を備える。
• イト写像の導関数の条件付き期待値である演算子 $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma$ を導入し、これは $\mathcal{H}_\sigma$ への正射影として作用する。
• $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma$ の右逆 $\boldsymbol{Y}_\sigma$ を、SDEの拡散係数 $X(x)$ の随伴を用いて構成する。
• カマーマイターの部分積分公式を適用し、$L^2(C_{x_0}M; \bbR)$ 上で閉作用素 $d$ に拡張されたマルコフ微分 $d^H$ を定義し、$\mathbb{D}^{2,1}$ を定義する。
• 恒等式 $\operatorname{div} V = \mathbb{E}[\operatorname{div}(\mathcal{I}^*({\bf Y}_-V(-))) \mid \mathfrak{F}^{x_0}]$ を用いて、$C_0\bbR^m$ 上の発散作用素を $C_{x_0}M$ へ移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ微分の初期定義域の選択が、$C_{x_0}M$ 上の $\mathbb{D}^{2,1}$ 空間に影響を与えるか？
• RQ2 $C_{x_0}M$ 上のラプラシアンは本質的自己随伴であるか、あるいはマルコフ一意性を有するか？
• RQ3 イト写像は経路空間マルコフカルキュラスにおける局所座標の代替として機能可能か、弱微分可能性を保存するか？
• RQ4 イト写像を介して、$C_{x_0}M$ 上の発散作用素と $C_0\bbR^m$ 上の発散作用素の関係は何か？
• RQ5 $C_{x_0}M$ 上の弱微分と $C_0\bbR^m$ 上の導関数の条件付き期待値との正確な関係は何か？

主な発見

• 任意の $C^\infty$ または $BC^\infty$ 関数を用いた初期定義域 $\operatorname{Dom}(d^H)$ を選んでも、$\mathbb{D}^{2,1}(C_{x_0}M; \bbR)$ は不変である。
• イト写像 $\mathcal{I}$ は連続線形写像 $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma: H \to \mathcal{H}_\sigma$ を誘導し、これはビズムト接空間への正射影である。
• 任意の $V \in \mathbb{D}^{2,1}{\mathcal{H}}$ に対して、押し出し $\overline{T\mathcal{I}(V)}$ は $C_{x_0}M$ 上の $\operatorname{Dom}(\operatorname{div})$ に属し、$\operatorname{div} V = \mathbb{E}[\operatorname{div}(\mathcal{I}^*({\bf Y}_-V(-))) \mid \mathfrak{F}^{x_0}]$ 几乎 everywhere に成り立つ。
• 弱微分可能性は $ (df)_\sigma = \mathbb{E}[d(\mathcal{I}^*f)_\omega \mid x_\cdot(\omega) = \sigma] \cdot \boldsymbol{Y}_\sigma $ で特徴づけられ、これにより $C_0\bbR^m$ 上の条件付き微分と関連づけられる。
• $\overline{T\mathcal{I}(V)} \in \mathbb{D}^{2,1}{\mathcal{H}}$ を満たす $C_0\bbR^m$ 上のベクトル場 $V$ の集合は $\mathbb{D}^{2,1}$ で稠密であり、発散作用素の閉包が適切に定義されることを保証する。
• この構成により、[Eberle] が示したように、滑らかな円形関数上で生成子が $\Delta$ と一致する場合、$C_{x_0}M$ 上のラプラシアンのマルコフ一意性が成立することが確認された。