[論文レビュー] Interval Graphs with Containment Restrictions

Jeffrey Beyerl, Robert E. Jamison|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ある表現におけるどの区間にも他の区間が $p$ 個より多く含まれないような区間グラフである $p$-不適切区間グラフを導入し、$\mathscr{I}_p$ クラスの最小禁止部分グラフを特徴づける。$p$-不適切区間グラフは、最小禁止部分グラフの多様性が顕著であり、頂点タイプと部品重みに基づく新しい構成を用いて、バランス型の場合の完全な特徴づけが与えられている。

ABSTRACT

An interval graph is proper iff it has a representation in which no interval contains another. Fred Roberts characterized the proper interval graphs as those containing no induced star $K_{1,3}$. Proskurowski and Telle have studied $q$-proper graphs, which are interval graphs having a representation in which no interval is properly contained in more than $q$ other intervals. Like Roberts they found that their classes of graphs where characterized, each by a single minimal forbidden subgraph. This paper initiates the study of $p$-improper interval graphs where no interval contains more than $p$ other intervals. This paper will focus on a special case of $p$-improper interval graphs for which the minimal forbidden subgraphs are readily described. Even in this case, it is apparent that a very wide variety of minimal forbidden subgraphs are possible.

研究の動機と目的

• 区間表現において、ある区間が他の区間を $p$ 個より多く含まないような $p$-不適切区間グラフを定義し、その性質を調査すること。
• クラス $\mathscr{I}_p$ の $p$-不適切区間グラフを特徴づける最小禁止部分グラフ（MFISGs）を同定すること。
• $p$-不適切区間グラフの構造的性質を分析し、特に部品重みと頂点タイプを用いて不適切性を定義するバランス型に焦点を当てる。
• $k=0,1,2$ の場合に、$\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 構成を用いて $p$-臨界かつバランス型の区間グラフの構成的特徴づけを提供すること。
• 頂点の重みがグラフの不適切性の下界を提供することを確立し、その等号が成立するのはバランス型の場合に限ること。

提案手法

• 不適切性 $\mbox{imp}(G)$ を、すべての区間表現における、ある区間が含む区間数の最大値の最小値として定義する。
• 頂点 $z$ の重み $\mbox{wt}(z)$ を、$G\setminus\{z\}$ の $n-2$ 個の最小の非外部局所部品のサイズの和として定義する。ここで $n$ は局所部品の数である。
• 重み関数を用いて $\mbox{imp}(G)$ の下界を導出し、その等号が成立するのはグラフがバランス型である場合に限ることを示す。
• $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ を、中心頂点 $z$ が列 $H_i$ の区間グラフに接続され、$k=1,2$ の場合に $P_3$ の垂れ枝が付加され、最大の $H_i$ の間にクリークを形成することで臨界性を保証する構成として定義する。
• $p$-臨界かつバランス型のグラフは、$k=0,1,2$ の場合に $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ に同型であり、最大の部品に適切なクリーク条件が満たされている場合に限ることを証明する。
• $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ の表現から任意の区間を削除すると不適切性が減少することを示し、臨界性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス $p$-不適切区間グラフを特徴づける最小禁止部分グラフは何か？
• RQ2 頂点の重みはグラフの不適切性とどのように関係し、いつその下界がタイトになるか？
• RQ3 $p$-臨界かつバランス型の区間グラフを定義する構造的条件は何か？
• RQ4 パrameterized なグラフ構成族を用いて、$p$-臨界かつバランス型の区間グラフの構成的特徴づけは可能か？
• RQ5 局所部品の数と種類（特に外部および内部）は、頂点および全体のグラフの不適切性にどのように影響するか？

主な発見

• $\mathscr{I}_p$ クラスの $p$-不適切区間グラフは、最小禁止部分グラフによる特徴づけが可能であり、各 $p$ に対して $K_{1,p+3}$ が最小禁止部分グラフである。
• $p=1$ の場合、本稿では10個の最小禁止部分グラフの完全なリストを提供し、低 $p$ であってもこのような部分グラフの複雑さと多様性が顕著であることを示している。
• 頂点 $z$ の重み $\mbox{wt}(z)$ は $\mbox{imp}(G)$ の下界を提供し、等号 $\mbox{wt}(G) = \mbox{imp}(G)$ が成立するのは、グラフがバランス型である場合に限る。
• グラフが $p$-臨界かつバランス型であることは、$k=0,1,2$ の場合に $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ に同型であり、$H_i$ の最大部品がクリークであるときに限る。
• $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 構成では、表現から任意の区間を削除すると不適切性が減少し、このグラフの臨界性が確認される。
• $\textsf{BAL}_k(\mathcal{H})$ 構成では、不適切性が中心頂点の重みと等しくなり、すべての表現において最小値をとることを確認し、表現の最小性が裏付けられる。