[論文レビュー] Interval Linear Programming under Transformations: Optimal Solutions and Optimal Value Range

Elif Garajová, Milan Hladík+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

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ひとこと要約

本稿は、標準的な線形計画法変換が区間線形計画問題（ILP）に与える影響を調査し、一部の変換は最適解や最適値の範囲を保持するが、他の変換は独立した係数の摂動によって依存性の問題を引き起こすことを示している。主な貢献は、係数行列が固定されたILPに対して、方程式の分割や自由変数の置換といった変換が、無限の境界の変化が生じる可能性があるものの、有限の最適値の集合を保持することを証明することにある。

ABSTRACT

Interval linear programming provides a tool for solving real-world optimization problems under interval-valued uncertainty. Instead of approximating or estimating crisp input data, the coefficients of an interval program may perturb independently within the given lower and upper bounds. However, contrarily to classical linear programming, an interval program cannot always be converted into a desired form without affecting its properties, due to the so-called dependency problem. In this paper, we discuss the common transformations used in linear programming, such as imposing non-negativity on free variables or splitting equations into inequalities, and their effects on interval programs. Specifically, we examine changes in the set of all optimal solutions, optimal values and the optimal value range. Since some of the considered properties do not holds in the general case, we also study a special class of interval programs, in which uncertainty only affects the objective function and the right-hand-side vector. For this class, we obtain stronger results.

研究の動機と目的

• 標準的な線形計画法変換が区間線形計画問題（ILP）に与える影響、特に最適解と最適値範囲に関する影響を分析すること。
• 独立した係数の摂動によって生じる依存性の問題にもかかわらず、ILPの基本的性質を保持する変換を同定すること。
• 不確実性が目的関数と右辺に限定される特別なクラスのILPを研究し、より強い理論的結果を得ること。
• 最適解集合と最適値範囲が、異なるILP定式化間で不変となる条件を明確にすること。
• 変換不変性の性質を特定することで、あるILP形式からの結果を他の形式に一般化する基盤を提供すること。

提案手法

• 本稿では、制約行列、右辺、目的関数に区間係数をもつ決定的線形計画問題の族として区間線形計画問題を定義する。
• 3つの一般的な変換を分析する：等式制約を不等式に変換すること、自由変数を非負変数の差に置換すること、スラック変数を追加すること。
• 強い双対性および線形計画法の性質を用いて理論的分析を行い、変換前後の最適値集合を比較する。
• より強い保存結果を得るため、不確実性が目的関数と右辺にのみ影響する固定係数行列をもつILPに焦点を当てる。
• 双対性と実行可能性の議論を用いて、特定の変換において有限の最適値が不変であることを示す主要な定理を証明する。
• 反例を用いて、一般の変換が、誘発される非実行可能性や非有界性によって最適値範囲を無限の境界を含むように変化させることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な線形計画法変換のうち、区間線形計画問題におけるすべての最適解の集合を保持するものは何か？
• RQ2 変換は、独立した係数の摂動が存在する場合、区間線形計画問題の最適値範囲にどのように影響するか？
• RQ3 最適値範囲が無限の境界によって変化する場合でも、有限の最適値の集合が変換によって不変のまま保たれる条件は何か？
• RQ4 区間最適化における依存性の問題が、ILP定式化の有効な変換を妨げる条件は何か？
• RQ5 不確実性が目的関数と右辺ベクトルに限定されるILPにおいて、より強い保存結果が成り立つか？

主な発見

• 等式制約を2つの不等式に分割することは、最小化問題において最良ケースの最適値（最適値範囲の下限）を保持する。
• 自由変数を2つの非負変数の差に置換することは、最小化問題において最悪ケースの最適値（最適値範囲の上限）を保持する。
• 係数行列が固定されたILPに対して、方程式の分割と自由変数の置換の両方の変換において、すべての有限の最適値の集合は変化しない。
• 最適解集合は、一般に変換によって保持されない。これは、シナリオごとの実行可能集合の変化に起因する。
• 変換によって非実行可能または非有界なシナリオが誘発され、最適値範囲が無限の境界を含むように拡張される場合がある。これは、元の問題が有限の境界を持っていた場合でも同様である。
• 本研究の結果は、有限の最適値が主要な変換において不変であることを確立し、異なるILP定式化間での結果の一般化の基盤を提供する。