[論文レビュー] Into the Square - On the Complexity of Quadratic-Time Solvable Problems

Michele Borassi, Pierluigi Crescenzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、二次時間で解ける問題の微細な複雑性を調査し、トランスティビティのチェックと比較可能性グラフの認識が、時間計算量 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$ を持つ修正された推移的閉包アルゴリズムを用いて真のサブクアドラチック時間で解けることを証明している。ここで $m$ は推移的閉包内の辺の数、$\omega$ は行列乗算の指数である。また、SETH（強い指数時間仮説）の下で、いくつかの他の問題——例えば、バーテックス中心性、最小近接中心性、双曲性——が $k$-Sat と同程度に難しいことを示すカープ風の還元フレームワークを確立している。

ABSTRACT

This paper will analyze several quadratic-time solvable problems, and will classify them into two classes: problems that are solvable in truly subquadratic time (that is, in time $O(n^{2-ε})$ for some $ε>0$) and problems that are not, unless the well known Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) is false. In particular, we will prove that some quadratic-time solvable problems are indeed easier than expected. We will provide an algorithm that computes the transitive closure of a directed graph in time $O(mn^{\frac{ω+1}{4}})$, where $m$ denotes the number of edges in the transitive closure and $ω$ is the exponent for matrix multiplication. As a side effect, we will prove that our algorithm runs in time $O(n^{\frac{5}{3}})$ if the transitive closure is sparse. The same time bounds hold if we want to check whether a graph is transitive, by replacing m with the number of edges in the graph itself. As far as we know, this is the fastest algorithm for sparse transitive digraph recognition. Finally, we will apply our algorithm to the comparability graph recognition problem (dating back to 1941), obtaining the first truly subquadratic algorithm. The second part of the paper deals with hardness results. Starting from an artificial quadratic-time solvable variation of the k-SAT problem, we will construct a graph of Karp reductions, proving that a truly subquadratic-time algorithm for any of the problems in the graph falsifies SETH. The analyzed problems are the following: computing the subset graph, finding dominating sets, computing the betweenness centrality of a vertex, computing the minimum closeness centrality, and computing the hyperbolicity of a pair of vertices. We will also be able to include in our framework three proofs already appeared in the literature, concerning the graph diameter computation, local alignment of strings and orthogonality of vectors.

研究の動機と目的

• 強指数時間仮説（SETH）の下で、二次時間で解ける問題を、真のサブクアドラチック時間で解けるものとそうでないものに分類すること。
• スパースグラフのトランスティビティをチェックするより速いアルゴリズムを開発し、この基本的なグラフ問題の既知の境界を改善すること。
• 1941年から続く歴史を持つ比較可能性グラフの認識問題に対して、初めての真のサブクアドラチック時間アルゴリズムを提供すること。
• 複数のグラフ理論的問題への $k$-Sat の二次時間版からのカープ還元フレームワークを確立し、それらの問題がSETHの下で難しいことを証明すること。
• 3-Sum、ローカル文字列アラインメント、直交ベクトル検出といった既存の難易度結果を、一つの複雑性枠組みで統一・拡張すること。

提案手法

• 推移的閉包の古典的アルゴリズムの修正版を提案し、時間計算量 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$ で動作させること。ここで $m$ は推移的閉包内の辺の数、$\omega$ は行列乗算の指数である。
• 推移的閉包のスパarsity（スパarsity）を活用して、スパースグラフでは $\mathcal{O}(n^{5/3})$ の時間計算量を導出し、真のサブクアドラチック性能を達成すること。
• 新規の推移的閉包アルゴリズムを比較可能性グラフ認識問題に適用し、先行研究の結果を活用することで、初めての知られている真のサブクアドラチック時間アルゴリズムを達成すること。
• 二次時間版 $k$-Sat から始まるカープ還元グラフを構築し、還元チェーン内の任意の問題について真のサブクアドラチック時間アルゴリズムが存在すればSETHが誤りであることを示すこと。
• TwoCovering 問題から二部グラフ支配集合問題への還元と、BigTwoCovering 問題からローカル文字列アラインメントへの還元を構築し、特別な区切り文字を用いた2進数表現による集合被覆のシミュレーションを行うこと。
• ワイルドカード付き文字列アラインメントのケース解析を用いて、長さ $5k$ の共通部分文字列が存在するための必要十分条件として、二つの集合が宇宙を被覆することであることを示し、問題間の同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トランスティビティのチェック問題は真のサブクアドラチック時間で解けるか？ もしそうなら、最良の時間計算量は何か？
• RQ2 長年にわたり歴史的・基礎的な役割を果たす比較可能性グラフの認識問題に対して、真のサブクアドラチック時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 強指数時間仮説（SETH）の下で、どの二次時間で解ける問題が $k$-Sat と同程度に難しいのか？
• RQ4 3-Sum や類似問題からの還元は、グラフ中心性や双曲性問題の文脈でSETHに基づく難易度と結びつけることができるか？
• RQ5 トランスティビティリダクション、最大フロー、最大二部マッチングといった問題もSETHの下で難しいのか、それともより速いアルゴリズムが存在するのか？

主な発見

• トランスティビティのチェック問題は、時間計算量 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$ を持つ真のサブクアドラチック時間アルゴリズムを備えている。ここで $\omega \approx 2.3727$ であるため、スパースグラフでは $\mathcal{O}(n^2)$ よりも速くなる。
• スパースな推移的閉包を持つスパースグラフに対しては、アルゴリズムは $\mathcal{O}(n^{5/3})$ 時間で動作し、このようなグラフにおけるトランスティビティのチェックの最速の既知の境界を達成している。
• 新規の推移的閉包アルゴリズムと先行研究 [28] の結果を組み合わせることで、比較可能性グラフの認識問題に対する初めての真のサブクアドラチック時間アルゴリズムが達成された。
• 本稿では、バーテックス中心性、最小近接中心性、双曲性といった問題がSETHの下で $k$-Sat と同程度に難しいことを証明しており、SETHが正しければ真のサブクアドラチック時間アルゴリズムは存在しない。
• カープ還元フレームワークが確立され、$\textsc{TwoCovering} \leq_{ql} \textsc{Bipartite3DominatingSet}$ および $\textsc{BigTwoCovering} \leq_{ql} \textsc{LocalStringAlign}$ が示され、これらの問題がSETHに基づく難易度と結びついている。
• 本稿では、スプリットグラフの直径、ローカル文字列アラインメント、直交ベクトル検出に関する3つの既存の難易度証明を、一つのSETHに基づく還元フレームワークで統一・拡張した。