[論文レビュー] Intransitive Machines

Alexander Poddiakov|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2018

History and Theory of Mathematics参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、歯車、レバー、滑車、スクリュー、斜面などの機械的非推移的装置——すなわち、AがBより速く回転する、BがCより多くを上げる、CがAより速く回転するといった非推移的優位関係を示す——ものを紹介する。これはコンドルセの逆説に類似したものである。本稿は、このようなパラドキシカルなサイクルが初等物理学の分野で構築可能であることを示し、教育的文脈における推移性と非推移性の理解を深めるための新しいフレームワークを提供する。

ABSTRACT

The intransitive cycle of superiority is characterized by such binary relations between A, B, and C that A is superior to B, B is superior to C, and C is superior to A (i.e., A>B>C>A - in contrast with transitive relations A>B>C). The first part of the article presents a brief review of studies of intransitive cycles in various disciplines (mathematics, biology, sociology, logical games, decision theory, etc.), and their reflections in educational materials. The second part of the article introduces the issue of intransitivity in elementary physics. We present principles of building mechanical intransitive devices in correspondence with the structure of the Condorcet paradox, and describe five intransitive devices: intransitive gears; levers; pulleys, wheels, and axles; wedges; inclined planes. Each of the mechanisms are constructed as compositions of simple machines and show paradoxical intransitivity of relations such as "to rotate faster than", "to lift", "to be stronger than" in some geometrical constructions. The article is an invitation to develop teaching materials and problems advancing the understanding of transitivity and intransitivity in various areas, including physics education.

研究の動機と目的

• 初等物理学における非推移的関係の存在を調査し、機械的システムにおける推移性の仮定に疑問を呈すること。
• コンドルセの逆説に類似した非推移的サイクルを模倣する機械的装置を開発すること。
• 物理学および数学における推移的関係と非推移的関係の違いを明確にする教育的ツールおよび問題を提供すること。
• 実践的で機械的な構築を通じて、非推移的現象の理解を深めること。

提案手法

• 歯車、レバー、滑車、ホイル/アキシス、スクリュー、斜面といった簡単な機械を用いて、非推移的関係を構築する機械的システムを設計すること。
• 『より速く回転する』、『より多くを上げる』、『より強い』といった関係が、循環的で非推移的なループを形成するように装置を構造化すること。
• コンドルセの逆説の原則を機械的システムに適用し、A > B、B > C、C > A となるようにすること。
• 幾何学的および運動学的配置を用いて、機械的優位性や運動における非推移的行動を強制すること。
• 理論的分析と図解を用いて、非推移的行動の妥当性を検証すること。
• 各装置について明確な説明と視覚的表現を提示し、教育的実装を支援すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『より速く回転する』という関係が非推移的サイクルを形成するような機械的システムを構築可能か？
• RQ2 社会選択理論における非推移性の概念（例：コンドルセの逆説）を、機械的装置に物理的に実現できるか？
• RQ3 どのような種類の簡単な機械を組み合わせることで、機械的優位性または運動における非推移的行動を生じさせられるか？
• RQ4 このような非推移的マシンをどのように活用することで、物理学教育における推移性と非推移性の理解を深められるか？
• RQ5 機械的システムが非推移的優位関係を示すために必要な構造的および幾何的条件は何か？

主な発見

• 非推移的機械的装置が5種類成功裏に設計された：非推移的歯車、非推移的レバー、非推移的滑車／ホイルとアキシス、非推移的スクリュー、非推移的斜面。
• 各装置は循環的優位関係を示す——例：AはBより速く回転し、BはCより多くを上げ、CはAより速く回転する——これは推移的論理に反する。
• 非推移的行動は、機械的優位性や運動における推移性を破る、特定の幾何学的および運動学的配置に起因する。
• 装置は標準的な簡単な機械から構成されており、複雑な部品を用いずに非推移性が達成可能であることが示された。
• 本稿は、このようなパラドキシカルな機械的システムに基づく教育教材の作成フレームワークを提供している。
• 本研究は、数学における抽象的な非推移的関係と、物理学教育における実体のある物理的メカニズムとの橋渡しを確立した。