[論文レビュー] Intrinsic Approximation on Cantor-like Sets, a Problem of Mahler

Ryan Broderick, Lior Fishman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、カントール型集合における内在的ディオファントス近似について、ディリクレ型の定理を確立し、その集合に属する任意の点が、その集合内の有理数によって、ハウスドルフ次元 $d$ に依存し、分母に関して対数的であるレートで近似可能であることを証明している。主な結果は、古典的ディオファントス近似に類似した鋭い近似関数であり、フラクタル幾何に適合させたものである。有理数がカントール集合内で分布するという分布的仮定のもとで、この境界が最適であるという予想が提示されている。

ABSTRACT

In 1984, Kurt Mahler posed the following fundamental question: How well can irrationals in the Cantor set be approximated by rationals in the Cantor set? Towards development of such a theory, we prove a Dirichlet-type theorem for this intrinsic diophantine approximation on Cantor-like sets, and discuss related possible theorems/conjectures. The resulting approximation function is analogous to that for R^d, but with d being the Hausdorff dimension of the set, and logarithmic dependence on the denominator instead.

研究の動機と目的

• カントール型集合における内在的ディオファントス近似の理論を構築すること。ここで使用される有理数は、集合内に制限される。
• 1984年にクルト・マーラーが提起した、カントール集合に属する無理数が、同じ集合に属する有理数によってどの程度良く近似可能かという問いに応えること。
• ハウスドルフ次元 $d$ を持つフラクタル集合に適合した、古典的ディオファントス近似に類似したディリクレ型近似定理を確立すること。
• 分母が有界なカントール集合内の約分済み有理数の数に対する鋭い境界を予想し、これが近似結果の最適性を示すものであることを示すこと。
• 外部近似、すなわちカントール集合に属する点が集合外の有理数によってどの程度良く近似可能かを検討し、測度論的性質と関連付けること。

提案手法

• カントール型集合 $C$ を、$[0,1]$ 内の数で、$b$ 進展開において集合 $S \subset \{0,1,\dots,b-1\}$ の数字のみを用いるものとして定義する。ここで $|S| = a > 1$ である。
• 集合 $C$ が写像 $x \mapsto \{b_0 x\}$ に関して不変であるような、$1$ より大きな最小の整数 $b_0$ を導入する。これは $b$ に等しいが、退化した場合を除く。
• 定理 2.1 の証明：任意の $x \in C$ と $Q = b^n$ に対して、$q \leq b_0^{Q^d}$ かつ $|x - p/q| < 1/(qQ)$ を満たす $p/q \in \mathbb{Q} \cap C$ が存在する。ここで $d = \dim C$ である。
• 系 2.2 の導出：すべての $x \in C$ に対して、$|x - p/q| < 1/(q (\log_{b_0} q)^{1/d})$ を満たす無限個の $p/q \in C$ が存在する。
• カントール集合内の有理数を、$S$ の数字を用いた $b$ 進展開で最終的に周期的になるものとして特徴づけ、分母に $b^{k+l} - b^k$ を含む式を用いる。
• 予想 3.3 の提唱：分母が $[3^n, 3^{n+1})$ に属する約分済み有理数の数は、すべての $\epsilon > 0$ に対して $O(2^{(1+\epsilon)n})$ のオーダーで増加する。この予想は表 1 の数値的証拠によって裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カントール集合に属する点が、同じ集合に属する有理数によって、どの程度の最適な速度で内在的ディオファントス近似可能か？
• RQ2 カントール型集合のハウスドルフ次元 $d$ は、内在的ディオファントス近似における近似関数にどのように影響するか？
• RQ3 分母が有界なカントール型集合内の約分済み有理数の数を、近似結果の鋭さを確認できる形で上界で抑えられるか？
• RQ4 カントール集合における非常に良い近似可能な点の集合の測度論的性質はいかなるものか？
• RQ5 カントール集合に属する点が集合外の有理数によって近似可能である外部近似は、測度および密度の観点から、内在的近似と比べてどの程度か？

主な発見

• 本稿は、カントール型集合における内在的近似についてディリクレ型定理を確立し、任意の $x \in C$ と $Q = b^n$ に対して、$q \leq b_0^{Q^d}$ かつ $|x - p/q| < 1/(qQ)$ を満たす $p/q \in \mathbb{Q} \cap C$ が存在することを示している。
• 系 2.2 は、すべての $x \in C$ に対して、$|x - p/q| < 1/(q (\log_{b_0} q)^{1/d})$ を満たす無限個の $p/q \in C$ が存在することを示しており、これは古典的ディリクレ結果をフラクタル集合へ一般化している。
• 近似関数は集合のハウスドルフ次元 $d$ に依存し、分母に関して対数的依存性を示しており、近似対象のフラクタル性を反映している。
• 予想 3.3 は、分母が $[3^n, 3^{n+1})$ に属する約分済み有理数の数が、すべての $\epsilon > 0$ に対して $O(2^{(1+\epsilon)n})$ のオーダーで増加するとするものであり、表 1 の数値的証拠に基づく。
• 予想 3.3 の下で、系 3.4 は、カントール集合における非常に良い近似可能な点の集合が $d$ 次元ハウスドルフ測度ゼロであることを証明しており、これはカントール集合の典型的な点が非常に良い近似可能でないことを示唆している。
• 外部近似に関して、予想 4.1（予想 3.3 より弱い形）は、カントール集合に属する点で、集合外の有理数によって良い近似が可能な点の集合が、$d$ 次元ハウスドルフ測度をフルに有することを示唆している。