[論文レビュー] Intrinsic capacities on compact Kähler manifolds

Vincent Guedj, Ahmed Zériahi|ArXiv.org|Jan 22, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、コンpact Kähler多様体上で、擬正則シュバルツ関数（qpsh）関数のための内在的容量を導入し、分析することによって、グローバルな多変数ポテンシャル理論を構築する。準連続性、局所的容量との比較可能性、不変性といった主要な性質を確立し、局所的極小集合がグローバルに準正則的であることを証明する。複素力学系や自然計量への応用を含む。

ABSTRACT

We study fine properties of quasiplurisubharmonic functions on compact Kähler manifolds. We define and study several intrinsic capacities which characterize pluripolar sets and show that locally pluripolar sets are globally "quasi-pluripolar".

研究の動機と目的

• コンpactな設定に一般化された局所理論を基に、コンpact Kähler多様体上でグローバルな多変数ポテンシャル理論を確立すること。
• 正則的集合を特徴付けるために、特に Monge-Ampère 容量と Alexander 容量を含む内在的容量を定義し、それらを研究すること。
• 局所的極小集合がグローバルに準正則的であることを証明し、局所的およびグローバルな多変数ポテンシャルの振る舞いを統合すること。
• Kähler幾何における Monge-Ampère 方程式の解法および自然計量の研究に役立つツールを提供すること。
• 理論を複素力学系および正の-current を有理型除数で近似することへの応用に活用すること。

提案手法

• ω-正則シュバルツ関数（ω-psh）を、ω + dd^cφ ≥ 0 を満たすグローバル関数φとして定義し、psh関数をコンpact多様体へ一般化する。
• 相対極値関数 h_{E,ρ}^* を用いて、グローバルな公式 $ Cap_{ ho}^*(E) = \int_X (-h_{E,\rho}^*) (\omega + dd^c h_{E,\rho}^*)^n $ により Monge-Ampère 容量 $ Cap_{\rho} $ を定義する。
• 部分積分を用いて、コンpact多様体上での Monge-Ampère 算子に対する Chern-Levine-Nirenberg 型不等式を確立する。
• dd^c-補題とホッジ理論を用いて、コhomologous な (1,1)-current を ω + dd^cφ の形に表現し、グローバル解析を可能にする。
• Ohsawa-Takegoshi の L^2 拡張定理を応用し、qpsh関数のほぼ準加法的な滑らかな近似列を構成する。
• Bergman 空間と断面の正規直交基底を用いて、任意の φ ∈ PSH(X,ω) に対して、PSH(X, Aω) ∩ C^∞(X) に属する滑らかで単調減少な近似列 φ_j を構成し、L^1(X) で φ に収束させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体上で、正則的集合を捉えるために、どのように内在的容量を定義し、特徴づけることができるか？
• RQ2 局所的極小集合は、グローバルなコンpact設定においてどの程度正則的のままであるか？
• RQ3 曲率の境界が制御された収束を伴う、ω-psh関数の滑らかな近似を構成できるか？
• RQ4 グローバルな容量は、Bedford-Taylor理論における局所的対応物とどの程度比較可能か？
• RQ5 X = ℂℙ^n で ω が Fubini-Study 形式であるとき、Alexander 容量 T_ω の幾何的解釈は何か？

主な発見

• Monge-Ampère 容量 $ Cap_{\omega} $ は、局所的 Bedford-Taylor 容量と比較可能であり、正則同相写像に関して不変性を満たす。
• 準正則的集合は、$ Cap_{\omega} $-容量がゼロである集合として特徴づけられ、ω-psh関数は $ Cap_{\omega} $ に関して準連続的である。
• コンpact Kähler多様体上では、局所的極小集合はグローバルに準正則的である。これは、Josefson の定理をグローバルな設定に一般化する。
• 任意の φ ∈ PSH(X,ω) に対して、A ≥ 1 で、多様体にのみ依存する定数 A を用いて、PSH(X, Aω) ∩ C^∞(X) に属する単調減少列 φ_j が存在し、L^1(X) で φ に収束する。
• X = ℂℙ^n で ω が Fubini-Study 形式であるとき、Alexander 容量 T_ω は、チェビシェフ定数および射影幾何学的解釈を介して幾何的に解釈可能である。
• グローバル理論のおかげで、境界がないコンpact多様体の性質により、Chern-Levine-Nirenberg 不等式の明快な証明が可能になる。