[論文レビュー] Intrinsic Differential Geometry and the Existence of Quasimeromorphic Mappings

Emil Saucan|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2008

Analytic and geometric function theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間への埋め込みに依存せずに、曲率の上限・下限、自己同型半径、体積などの内在的幾何的データのみを用いて、滑らかで完備かつ向き付け可能なリーマン多様体上に厚みのある三角形分割を構成することにより、非自明な準メルモルフィック写像の存在を、内在的微分幾何的証明で示している。主な結果は、断面曲率が上下で有界な多様体上ではこのような写像が存在することであり、従来の外部埋め込みに依存する構成を、より幾何的に自然な枠組みへと拡張したものである。

ABSTRACT

We give a new proof of the existence of nontrivial quasimeromorphic mappings on a smooth Riemannian manifold, using solely the intrinsic geometry of the manifold.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間への等長埋め込みに依存せずに、滑らかで完備なリーマン多様体上に準メルモルフィック写像の存在を、内在的幾何的データのみを用いて確立すること。
• ナッシュ埋め込みや接線半径・接続半径に基づく従来の構成の限界を克服すること。これらは計算が困難であり、周囲空間の幾何に依存する。
• 曲率の上限・下限、自己同型半径、体積成長といった内在的幾何不変量を保存・活用する方法を開発すること。
• 非コンパクト多様体や境界付き多様体、特定のオーロリッドへも適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 曲率の上限・下限および自己同型半径の推定値といった、内在的幾何的制約を用いてリーマン多様体の厚みのある三角形分割を構成する。
• 面積と直径の比を制御することで、三角形分割が一様に太っている（厚みがある）ことを保証し、内在的曲率および体積成長条件を用いる。
• 各 (n−2)-素因数が偶数個の n-単体に接するように保証するため、バーテックス分割を適用し、一貫性のある準等角写像の貼り合わせを可能にする。
• 各単体上で、古典的なアレクサンダー法を準等角ホメオモルフィズムを用いて一般化し、各単体を n-球面へ写像するように、局所的に準メルモルフィック写像を定義する。
• 三角形分割の一様な厚みを活用し、得られる写像の変形率が次元 n のみに依存する定数で一様に有界であることを保証する。
• 既知のリーマン計量の滑らか化に関する結果を活用し、元の幾何を近似しながら曲率の上限・下限を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上に、ユークリッド空間への等長埋め込みに依存せずに、内在的幾何的データのみを用いて準メルモルフィック写像を構成できるか？
• RQ2 曲率の上限・下限、体積成長、自己同型半径といった内在的幾何的条件は、どのように厚みのある三角形分割の存在を保証するか？
• RQ3 断面曲率や体積といった内在的不変量のみを用いて、三角形分割の厚みをどのように制御できるか？
• RQ4 従来の構成（例：ナッシュ埋め込みや接線半径を用いたもの）が、外部幾何に依存する程度を、準メルモルフィック写像の存在証明においてどれほど排除できるか？
• RQ5 境界付き多様体やオーロリッドへも、内在的幾何的制御を保ったまま構成を拡張できるか？

主な発見

• 任意の完備で向き付け可能かつ C∞ のリーマン多様体 Mⁿ（n ≥ 2）で、断面曲率が上界 K₀ で有界であり、下界が正の定数である場合、一様に太った三角形分割が存在する。
• 0 < K ≤ K₀ を満たす非コンパクト多様体では、自己同型半径が一様に π/√K₀ 以上で有界であり、これは一様に太った三角形分割の存在を支持する。
• この構成により、外的変形率が次元 n のみに依存する定数で有界な、f: Mⁿ → Ŝⁿ となる準メルモルフィック写像が得られる。
• 写像の分岐集合は三角形分割の (n−2)-スケルトンに一致し、各単体の内部では準正則的かつ局所的に準等角的である。
• 外部幾何に依存しないように、内在的曲率と体積の上限を用いることで、従来の手法よりも幾何的に自然で、計算的にも実行可能である。
• 境界付き多様体や特定のオーロリッドに対しても、内在的幾何的条件が満たされていれば、この結果は拡張可能である。