[論文レビュー] Intrinsic ergodicity for certain nonhyperbolic robustly transitive systems

Jérôme Buzzi, Todd Fisher|ArXiv.org|Mar 21, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Mañéの例を用いて構成された、非双曲的かつロバストに推移的であるd次元トーラス（d ≥ 3）上の微分同相写像のクラスに対して、内在的エルゴド性を確立する。各微分同相写像が線形Anosov因子と同型な一意の最大エントロピー測度を持つことを示すことで、著者らは、一様双曲性や構造安定性に欠けるにもかかわらず、位相的エントロピーが局所的に一定であり、系が内在的にエルゴド的であることを示している。

ABSTRACT

We show that a class of robustly transitive diffeomorphisms originally described by Mañé are intrinsically ergodic. More precisely we obtain an open set of diffeomorphisms which fail to be uniformly hyperbolic, but nevertheless have constant entropy and isomorphic unique measures of maximal entropy.

研究の動機と目的

• ロバストに推移的であり、一様双曲的でも構造安定でもない微分同相写像が、内在的にエルゴド的であるかどうかを特定すること。
• 一意の最大エントロピー測度がC¹位相において連続的に変化することを示すことにより、非Anosov系への内在的安定性の概念を拡張すること。
• 中心力学が非自明な強い部分双曲的微分同相写像のトーラス上でのエントロピー構造を分析すること。
• 次元3におけるロバストに推移的系が内在的エルゴド的であるかどうかを解明すること、ただし部分双曲性は必要条件であるとされている。

提案手法

• d ≥ 3 に対して、Mañé型微分同相写像 f₀ における C¹ の開近傍 U ⊂ Diff^1(𝕋^d) を構成し、各 g ∈ U が強く部分双曲的かつロバストに推移的であるようにする。
• g から線形Anosov写像 f_A への半同型写像 π_g: 𝕋^d → 𝕋^d を定義し、動的因子化を行い、h_top(g) = h_top(f_A) を満たす。
• 中心ラミネーションの有界曲率と正規双曲性を用いて、μ-ほとんど everywhere における x ∈ 𝕋^d に対して、π_g^{-1}(x) が一様に有界な長さのコンパクトな区間であることを示す。
• Bowenの不等式により、すべての x に対して纤维エントロピー h(g, π_g^{-1}(x)) = 0 であることを証明し、h_top(g) = h_top(f_A) を得る。
• Ledrappier-Waltersのエントロピー分解を用いて、任意の最大エントロピー測度 ν の π_g による押し出し写像が、f_A の一意な最大エントロピー測度 μ に一致することを示す。
• 中心の拡張／収縮率が (λ_c − γ)^{1−m−σ}(b(f) − γ)^{2m+σ} > 1 を満たすことを証明し、preimage 集合がμ-ほとんど everywhere でシングルトンであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロバストに推移的であり、一様双曲的でない微分同相写像に対し、内在的エルゴド性を確立できるか？
• RQ2 非Anosovのロバストに推移的系のC¹近傍において、位相的エントロピーは局所的に一定か？
• RQ3 このような系において、小さなC¹摂動のもとでも一意の最大エントロピー測度が存在するか？
• RQ4 非双曲的かつロバストに推移的系の動的構造を、エントロピーと測度論的構造を保ちながらAnosov系へ因子化できるか？

主な発見

• d ≥ 3 に対して、空でない開集合 U ⊂ Diff^1(𝕋^d) が存在し、各 f ∈ U は強く部分双曲的かつロバストに推移的であり、内在的に安定である。
• U に属する任意の f はAnosovでも構造安定でもなく、一様双曲性が欠けるにもかかわらず、内在的エルゴド性が成立することを示している。
• U 上で位相的エントロピーは一定であり、すべての f ∈ U に対して h_top(f) = h_top(f_A) が成り立つ。ここで f_A は線形Anosov写像である。
• 各 f ∈ U は一意の最大エントロピー測度 μ_f を持ち、その π_f による押し出し写像は、f_A の一意な最大エントロピー測度 μ に一致する。
• 半同型写像 π_f はほとんど everywhere で一対一であるため、μ_f は f に対して一意の最大エントロピー測度である。
• 主要な力学的条件 (λ_c − γ)^{1−m−σ}(b(f) − γ)^{2m+σ} > 1 により、π_f におけるpreimage がほとんど everywhere でシングルトンであることが保証され、これが最大エントロピー測度の一意性を強制する。