[論文レビュー] Intrinsic flat convergence with bounded Ricci curvature

Michael Munn|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一様に有界なリッチ曲率、径、非崩壊体積を備えた向き付けられたリーマン多様体の列に対して、内在的フラット極限とグロモフ＝ハウスドルフ極限が一致することを確立する。グロモフのフィリング半径やフィリング体積に依存することを避け、代わりに正則点における体積収束を用いることで、内在的フラット極限にキャンセルが生じないことを証明し、極限カレント空間がグロモフ＝ハウスドルフ極限空間を完全に支持することを保証する。

ABSTRACT

In this paper we address the relationship between Gromov-Hausdorff limits and intrinsic flat limits of complete Riemannian manifolds. In \cite{SormaniWenger2010, SormaniWenger2011}, Sormani-Wenger show that for a sequence of Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature, a uniform upper bound on diameter, and non-collapsed volume, the intrinsic flat limit exists and agrees with the Gromov-Hausdorff limit. This can be viewed as a non-cancellation theorem showing that for such sequences, points don't cancel each other out in the limit. Here we prove a similar no-cancellation theorem, replacing the assumption of nonnegative Ricci curvature with a two-sided bound on Ricci curvature. This version corrects a mistake in the previous version of this paper (where we assume only an arbitrary lower Ricci bound) which was due to a crucial error in one of our supporting theorems for that argument.

研究の動機と目的

• 非負リッチ曲率に限らない、両側有界リッチ曲率へのソルマーニ＝ウェンジャーズの非キャンセル定理の拡張を図ること。
• 有界リッチ曲率の下で、内在的フラット極限とグロモフ＝ハウスドルフ極限が一致する条件を確立すること。
• グロモフのフィリング半径およびフィリング体積の使用を避ける、新たな証明戦略を提供すること。
• 極限における正則点での体積収束が、内在的フラット意味での距離球のサイズを制御することを示すこと。
• 極限空間が可解的であり、グロモフ＝ハウスドルフ極限空間の完全な構造を支持することを示すこと。

提案手法

• 証明は、グロモフ＝ハウスドルフ収束に加え、極限空間における正則点での体積収束を用いて、内在的フラット意味での距離球のサイズを制御する。
• 多様体内のスケーリングされた距離球とユークリッド空間の標準球との間の内在的フラット距離を分析する。
• 一連の半径の列を構成し、内在的フラット距離に対する三角不等式を用いて一様な上限を導出する。
• 距離球が内在的フラット意味で原点に収束しないと仮定することで背理法を用い、収束に失敗する半径の測度に下界を示す。
• 極限空間における正則集合の稠密性に依存し、正則点が正の密度を持ち、小さな球内で全体積を占めることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が上界および下界で有界である場合、すなわち非負でない場合に、内在的フラット極限とグロモフ＝ハウスドルフ極限が一致するか？
• RQ2 フィリング半径に依存せずに、非キャンセル定理を非負リッチ曲率を超えて拡張することは可能か？
• RQ3 正則点における体積収束が、内在的フラット収束を制御する役割を果たすか？
• RQ4 内在的フラット極限における非キャンセル定理の証明において、グロモフのフィリング体積を避けることは可能か？
• RQ5 有界リッチ曲率の下で、極限空間の構造と距離球の幾何学的性質の関係は何か？

主な発見

• |Ric| ≤ (n−1)H、diam ≤ D、vol ≥ v₀ > 0 を満たす向き付けられたリーマン多様体の列に対して、内在的フラット極限とグロモフ＝ハウスドルフ極限が一致する。
• 極限空間はHⁿ-可解的であり、チヘル＝コールディングの可解的結果をより広いクラスの多様体へ拡張する。
• 内在的フラット極限にキャンセルは生じない：極限カレント空間の台は、グロモフ＝ハウスドルフ極限空間と完全に一致する。
• 証明はグロモフのフィリング半径およびフィリング体積を避け、代わりに正則点における体積収束とスケーリングの議論に依存する。
• 任意のε > 0 に対して、あるNが存在し、すべてのj > Nおよびr < N⁻¹に対して、スケーリングされた距離球と標準球との間の内在的フラット距離はε未満である。
• 距離球が原点に内在的フラット意味で収束しない半径rの測度は、min{N⁻¹, δ} > 0 で下から抑えられ、収束に矛盾し、主張が証明される。