[論文レビュー] Intrinsic Flat Stability of Manifolds with Boundary where Volume Converges and Distance is Bounded Below

Brian Allen, Raquel Perales|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、境界付きリーマン多様体が滑らかな極限多様体に体積を保存する内在的フラット収束するための十分な幾何的条件を確立する。一様な直径の上限、点での計量支配、体積収束、および $L^{(m-1)/2}$ 表面計量収束の下で、列は体積を保存する内在的フラット収束を示し、境界なしの多様体から境界付きの多様体への既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

Given a compact, connected, and oriented manifold with boundary $M$ and a sequence of smooth Riemannian metrics defined on it, $g_j$, we prove volume preserving intrinsic flat convergence of the sequence to the smooth Riemannian metric $g_0$ provided $g_j$ always measures vectors strictly larger than or equal to $g_0$, the diameter of $g_j$ is uniformly bounded, the volume of $g_j$ converges to the volume of $g_0$, and $L^{\frac{m-1}{2}}$ convergence of the metrics restricted to the boundary. Many examples are reviewed which justify and explain the intuition behind these hypotheses. These examples also show that uniform, Lipschitz, and Gromov-Hausdorff convergence are not appropriate in this setting. Our results provide a new rigorous method of proving some special cases of the intrinsic flat stability of the positive mass theorem.

研究の動機と目的

• 境界のない多様体から境界付き多様体への体積を保存する内在的フラット収束の結果を拡張すること。
• 内在的フラット収束を保証する最小の幾何的仮定——特に計量支配、直径の上限、体積収束、表面計量収束——を同定すること。
• 境界に起因する幾何的複雑性のため、一様、リプシッツ、またはグロモフ＝ハウスドルフ収束がこの設定では不十分であることを示すこと。
• 境界の存在下で、正の質量定理の内在的フラット安定性の特殊ケースを証明するための厳密な枠組みを提供すること。
• 内部での $L^{m/2}$ 計量収束と体積制御の下で、表面計量収束を面積の上限に弱めることが可能であり、仮定を簡略化できることを示すこと。

提案手法

• 距離を保つ写像による埋め込みを通じて、共通の距離空間への埋め込みを用いた、Sormani-Wenger の積分カレント空間フレームワークによる内在的フラット収束の使用。
• 滑らかなアトラスと計量支配条件 $ (1 - 1/j)g_0 \leq g_j $ を用いた $M_j$ および $M_0$ 上の双リプシッツチャートの構成。
• 共通の距離空間 $Z$ への写像 $\varphi_j: M_j \to Z$ および $\varphi_0: M_0 \to Z$ の定義により、カレントのフラット収束を可能にする。
• Ambrosio-Kirchheim の正規カレント理論を用いて、$M_j$ および $M_0$ に関連するカレントの質量を定義・比較する。
• カレントの差 $T'$ および $T$ の質量を用いた内在的フラット距離の推定：$T = \iota_{j\sharp}[[M_j \times [0,h_j]]]$ および $T' = \varphi_{j\sharp}[[M_j]] - \varphi_{0\sharp}[[M_0]] - \partial T$。
• 不等式 $d_{\mathcal{F}}(M_j, M_0) \leq \mathbf{M}(T') + \mathbf{M}(T)$ を用い、$\mathbf{M}(T) \leq h_j V$ および $\mathbf{M}(T') \leq 2V_j + A h_j$ を用いてフラット距離を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きリーマン多様体の列が、体積を保存する内在的フラット収束するための条件は何か？
• RQ2 境界効果——例えば測地線が境界を通過すること——は、境界なしの場合と比較して、内在的フラット収束にどのように影響するか？
• RQ3 内在的フラット収束定理において、$L^{(m-1)/2}$ 表面計量収束が、より強い収束仮定に置き換え可能か？
• RQ4 体積と直径が有界な状況で、表面計量の最小の正則性は何か？ これにより、内在的フラット収束が保証されるか？
• RQ5 内部での $L^{m/2}$ 計量収束が、表面計量収束の仮定を緩和可能か？

主な発見

• 計量支配 $ (1 - 1/j)g_0 \leq g_j $、一様な直径上限 $ \operatorname{Diam}(M_j) \leq D $、体積収束 $ \operatorname{Vol}(M_j) \to \operatorname{Vol}(M_0) $、および $ L^{(m-1)/2} $ 表面計量収束の下で、$ M_j \xrightarrow{\mathcal{VF}} M_0 $ は体積を保存する内在的フラット収束を示す。
• $ L^{m/2} $ 計量収束 $ g_j \to g_0 $ と一様な体積上限の下で、表面計量収束の仮定は、一様な面積上限 $ \operatorname{Vol}(\partial M_j) \leq A $ に置き換え可能であり、仮定を簡略化できる。
• 内在的フラット距離は $ d_{\mathcal{F}}(M_j, M_0) \leq \mathbf{M}(T') + \mathbf{M}(T) \leq 2V_j + A h_j + h_j V $ で有界であり、$ V_j \to V $ であるから、距離は 0 に収束する。
• 証明は、共通の距離空間 $ Z $ を構築し、$ M_j $ および $ M_0 $ を距離を保つ写像で埋め込むことで、$ Z $ 内でのカレントの比較に依存している。
• 境界の存在により境界反射測地線が生じるため、グロモフ＝ハウスドルフまたは一様リプシッツ収束を要求する必要はなく、それらはこの設定では失敗する。
• 結果は、自然な幾何的制約の下で、境界の存在下で正の質量定理の内在的フラット安定性を証明するための、新たな厳密な道具を提供する。