[論文レビュー] Intrinsic flat stability of the positive mass theorem for graphical hypersurfaces of Euclidean space

Lan-Hsuan Huang, Dan A. Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間内の図形的超曲面における正の質量定理の内在的フラット安定性を確立し、非負のスカラー曲率をもつような超曲面の列がADM質量を0に近づけるならば、それに対応する点付き計量球が内在的フラット位相でユークリッド空間に収束することを証明する。この結果は、グラフの幾何的性質および漸近的挙動に関する技術的条件のもとで成り立つ。

ABSTRACT

The rigidity of the Positive Mass Theorem states that the only complete asymptotically flat manifold of nonnegative scalar curvature and zero mass is Euclidean space. We study the stability of this statement for spaces that can be realized as graphical hypersurfaces in Euclidean space. We prove (under certain technical hypotheses) that if a sequence of complete asymptotically flat graphs of nonnegative scalar curvature has mass approaching zero, then the sequence must converge to Euclidean space in the pointed intrinsic flat sense. The appendix includes a new Gromov-Hausdorff and intrinsic flat compactness theorem for sequences of metric spaces with uniform Lipschitz bounds on their metrics.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間内の図形的超曲面の文脈において、正の質量定理の安定性を調査すること。
• 非負のスカラー曲率および消失するADM質量をもつ図形的超曲面の列が、幾何学的にユークリッド空間に収束するかどうかを特定すること。
• 薄い領域や小体積構造が質量の減少に伴って残存する可能性がある状況を扱うのに適した、内在的フラット位相における収束を確立すること。
• ゼロ質量のときユークリッド空間になるという既知の剛性結果を、内在的フラット収束の下で定量的な安定性の記述に拡張すること。
• 従来の回転対称の場合を越えて、より広いクラスの多様体、特に図形的超曲面に対して安定性結果を提供すること。

提案手法

• 境界付きリーマン多様体間の収束を測るため、積分的カレントとAmbrosio-Kirchheim理論に基づく内在的フラット距離 $ d_{\frak{F}} $ を用いる。
• 図形的超曲面に技術的条件を課し、計量の均一なリプシッツ有界性と幾何的制御のための漸近的減衰の制御を確保する。
• 付録で開発された、計量の均一なリプシッツ有界性をもつメトリック空間の列に関する新しいコンパクトネス定理を適用する。
• 同じ基底集合上に2つの計量 $ d_j $ と $ d_\text{infty} $ をもつグラフから、収束を分析するための新しい計量 $ d_j' $ を定義するためのメトリック空間 $ Z_j $ を構成する。
• $ d_{-+} $ および $ d_{+-} $ の擬距離を用いて、異なる計量間の点を比較し、新しい計量 $ d_j' $ における三角不等式を確立する。
• 構成された空間 $ Z_j $ におけるコーシー列を分析し、一般には完備性が成り立たないことを示し、収束を保証するための計量の完備化 $ \bar{Z}_j $ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の質量定理の剛性が、$ \mathbb{E}^{n+1} $ 内の図形的超曲面において安定性の記述に拡張可能か？
• RQ2 非負のスカラー曲率およびADM質量が0に近づく完全で漸近的に平坦な図形的超曲面の列は、内在的フラット位相でユークリッド空間に収束するか？
• RQ3 曲率が薄い領域で大きくなる可能性がある状況において、内在的フラット収束を保証するために必要な幾何学的・解析的条件は何か？
• RQ4 この設定において、内在的フラット距離は、Gromov-Hausdorff距離や滑らかさの収束といった他の収束概念とどのように比較できるか？
• RQ5 計量の均一なリプシッツ有界性をもつメトリック空間の列に関するコンパクトネス定理を用いて、内在的フラット収束を証明できるか？

主な発見

• 完全で漸近的に平坦な図形的超曲面の列が $ \mathbb{E}^{n+1} $ 内にあり、非負のスカラー曲率およびADM質量が0に近づくならば、点付き計量球は内在的フラット位相でユークリッド空間に収束する。
• 収束はほとんどすべての半径 $ D > 0 $ に対して成り立つ。すなわち、$ j \to \infty $ のとき $ d_{\mathcal{F}}(B_{p_j}(D) \subset M_j, B_0(D) \subset \mathbb{E}^n) \to 0 $ である。
• この結果は、計量の均一なリプシッツ有界性および無限遠での制御された減衰といった技術的仮定のもとで得られている。
• 本稿では、同一の基底集合上に2つの計量からなる新しいメトリック空間 $ Z_j $ を構成し、誘導される $ d_j' $ が計量であることを証明し、収束の分析を可能にした。
• 一般に $ Z_j $ が完備でないことを示す反例を提示し、計量の完備化 $ \bar{Z}_j $ が明示的に記述されている。
• 付録では、計量の均一なリプシッツ有界性をもつメトリック空間の列に関する新しいコンパクトネス定理が確立されており、これが主な安定性結果の証明に不可欠である。