[論文レビュー] Intrinsic knotting and linking of almost complete graphs

Jesse Campbell, Thomas W. Mattman+4 more|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、グラフにおける内在的絡みつきと内在的結びつきのための新たな十分条件を確立する。$ n \geq 7 $ 頂点かつ少なくとも $ 5n - 14 $ 辺をもつグラフは内在的に結びついている。$ n \geq 6 $ 頂点かつ少なくとも $ 4n - 9 $ 辺をもつグラフは内在的に絡みついている。主な貢献は、これらの境界をマイナー包含を用いて証明したことである。具体的には、それぞれのグラフが $ K_7 $ または $ K_6 $ をマイナーとして含むことを示した。

ABSTRACT

We introduce new sufficient conditions for intrinsic knotting and linking. A graph on n vertices with at least 4n-9 edges is intrinsically linked. A graph on n vertices with at least 5n-14 edges is intrinsically knotted. We also classify graphs that are 0, 1, or 2 edges short of being complete partite graphs with respect to intrinsic linking and intrinsic knotting. In addition, we classify intrinsic knotting of graphs on 8 vertices.

研究の動機と目的

• 頂点数と辺数に基づいて、グラフにおける内在的結びつきと絡みつきの新たな十分条件を確立すること。
• 完全グラフまたは完全多部グラフから0、1、または2本の辺が不足しているグラフを、内在的結びつきと絡みつきに関して分類すること。
• 8頂点におけるすべての内在的結びつきグラフを完全に分類し、マイナー同値性の観点からその完全なリストを提供すること。
• 頂点数 $ n \geq 7 $ で $ 5n - 14 $ 辺をもつグラフが $ K_7 $ をマイナーとして含むことを証明し、同様に $ 4n - 9 $ 辺をもつグラフが $ K_6 $ をマイナーとして含むことを証明することで、内在的結びつきまたは絡みつきを示すこと。

提案手法

• 頂点数に関する帰納法を用いて、$ n \geq 6 $ 頂点かつ $ 4n - 9 $ 辺をもつグラフが $ K_6 $ をマイナーとして含むことを証明する。
• 辺の収縮と頂点の削除操作を適用してグラフを簡約し、$ K_6 $ および $ K_7 $ が内在的に絡みついており、結びついているという既知の結果を活用する。
• $ k = 0,1,2 $ の $ k $-不足グラフ（完全グラフおよび完全多部グラフから辺を削除したもの）を、特に $ K_{n} $、$ K_{3,3,1,1} $、$ K_{4,3,1} $ を対象に分析することで分類する。
• マイナー最小性および位相的マイナー関係を用いて、内在的結びつきと絡みつきを特定する。その根拠は、あるグラフが内在的に結びついたり絡みついたりするマイナーを含むならば、その性質を継承するということにある。
• $ K_8 $ から1〜7本の辺を削除して得られる部分グラフの体系的列挙と分類を行い、マイナー包含および構造的解析を用いて内在的に結びついているものを同定する。
• 既知の結果（$ K_7 $ および $ H_8 $（$ K_7 $ における三角形-Y交換から得られる）のマイナー最小性）を活用し、8頂点における内在的結びつきグラフの最終的同定を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な結びつきを保証するための、$ n $ 頂点で必要な最小の辺数は何か？
• RQ2 完全な絡みつきを保証するための、$ n $ 頂点で必要な最小の辺数は何か？
• RQ3 完全または完全多部グラフから1本または2本の辺が不足しているグラフの中で、内在的に結びついているか、絡みついているものはどれか？
• RQ4 8頂点における内在的結びつきグラフの完全な分類は何か？
• RQ5 頂点数 $ n \geq 7 $ で $ 5n - 14 $ 辺をもつグラフは、必然的に $ K_7 $ をマイナーとして含むのか？同様に、$ 4n - 9 $ 辺をもつグラフは $ K_6 $ をマイナーとして含むのか？

主な発見

• 頂点数 $ n \geq 7 $ で $ 5n - 14 $ 辺以上をもつグラフは、$ K_7 $ をマイナーとして含むため、内在的に結びついている。
• 頂点数 $ n \geq 6 $ で $ 4n - 9 $ 辺以上をもつグラフは、$ K_6 $ をマイナーとして含むため、内在的に絡みついている。
• 8頂点における内在的結びつきグラフは20個すべて分類され、そのうち12個は $ K_8 - 5e $ のマイナーであり、残りの8個は頂点分割を用いて $ K_7 $ または $ H_8 $ から導出されたものである。
• 2-不足グラフ（完全または完全多部グラフから2本の辺が欠落しているグラフ）の分類により、内在的絡みつきと結びつきは、欠落した辺の構造、特にそれらが頂点を共有しているかどうかに依存することが明らかになった。
• $ K_8 - 5e $ グラフの中で、内在的に結びついているのは4つに限られ、それらは補グラフの性質、または $ K_7 $ をマイナーとして含むことによって特徴づけられる。
• 8本以上の辺が $ K_8 $ から削除されたグラフは、内在的に結びついていない。なぜなら、それらは結びついていない $ K_8 - 7e $ グラフのマイナーであるためであり、8頂点における内在的結びつきグラフは、7本以下の辺が削除されたものに限られる。