[論文レビュー] Intrinsic linking is arbitrarily complex

Erica Flapan, Blake Mellor+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、グラフにおける内在的リンクの複雑さを任意に複雑にできるということを示している：任意の与えられた n と λ に対して、R³ におけるいかなる埋め込みに対しても、すべての成分ペアのラッキング数が λ を超過する n 成分リンクを含むグラフ G が存在する。この構成は位相的グラフ理論と空間グラフ埋め込みを用いて行われ、このような複雑さが上限を持たないことを証明し、3次元埋め込みにおけるリンク行動の従来の限界に挑戦する。

ABSTRACT

Abstract. We prove that given any n, λ ∈ N, there is a graph G which has the property that every embedding of G in R 3 contains an n-component link all of whose components are pairwise linked with linking number greater than λ. 1.

研究の動機と目的

• 空間グラフにおける内在的リンクの複雑さが、ラッキング数および成分数の観点から任意に複雑にできるかどうかを調査すること。
• R³ における埋め込みがいかなるものであっても、常に高リンク度の部分構造を含むようなグラフが存在するかどうかを特定すること。
• すべての3次元埋め込みにおいて、すべての成分ペアのラッキング数が任意の与えられた λ よりも大きい n 成分リンクを強制するようなグラフを構成すること。

提案手法

• 高リンク複雑性を保証するため、再帰的または反復的な位相的操作を用いてグラフ G を構築すること。
• R³ における空間グラフ埋め込みを用いて、すべての可能な埋め込みにおけるリンク行動を分析すること。
• 成分間のねじれの度合いを定量化するために、ラッキング数を位相的不変量として用いること。
• 絡み合いの理論および3次元多様体位相幾何学の結果を応用して、すべての埋め込みが指定されたリンク型を含むことを証明すること。
• ラッキング数の制約がアバントイソトピーのもとで保存されることを示し、性質がグラフの内在的性質であることを保証すること。
• 数学的帰納法または再帰的構成を用いて、任意の n と λ に対して、そのようなグラフが存在することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元グラフ埋め込みにおける内在的リンクの複雑さは、成分数およびラッキング数の観点から任意に複雑にできるか？
• RQ2 すべての空間的埋め込みにおいて、すべての成分ペアのラッキング数が与えられた λ を超過する n 成分リンクを含むようなグラフが存在するか？
• RQ3 内在的リンクの複雑さには上限があるのか、それとも任意に大きくできるのか？
• RQ4 R³ におけるグラフのすべての埋め込みにおいて、高いラッキング数を強制する上での位相的制約とは何か？
• RQ5 どのようにしてグラフを構成すれば、すべての空間的埋め込みにおいて特定の複雑なリンクパターンを普遍的に強制できるか？

主な発見

• 任意の自然数 n と λ に対して、すべての R³ における空間的埋め込みが n 成分リンクを含む有限グラフ G が存在する。
• そのような埋め込みのすべてにおいて、n 成分リンクのすべての成分ペアのラッキング数は λ よりも厳密に大きい。
• ラッキング複雑さはグラフの内在的性質であり、異なる埋め込みを選んでも回避できない。
• この結果により、内在的リンクの複雑さはいかなる固定された複雑さによっても上限を持たないことが示され、任意に高められることを証明する。
• この構成により、このようなグラフに対して、平面的または単純な埋め込みが不可能である普遍的な位相的障害が確立される。