[論文レビュー] Intrinsic Square Function Characterizations of Hardy Spaces with Variable Exponents

Ciqiang Zhuo, Dachun Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可変指数 $H^{p(\bullet)}(\mathbb{R}^n)$ の固有の平方関数表記を確立し、$p(\cdot)$ にやや緩い条件下で、固有のリトルウッド・ペリー $g$-関数、固有のルジン面積関数、および固有の $g^*_{\lambda}$-関数がすべて $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づけることを証明している。さらに、双対空間 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ に対して $p(\cdot)$-カールソン測度の特徴づけも提示している。これらの結果は、古典的な特徴づけを可変指数設定に拡張し、鋭い範囲推定を達成している。

ABSTRACT

Let $p(\cdot):\ \mathbb R^n o(0,\infty)$ be a measurable function satisfying some decay condition and some locally log-Hölder continuity. In this article, via first establishing characterizations of the variable exponent Hardy space $H^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$ in terms of the Littlewood-Paley $g$-function, the Lusin area function and the $g_λ^\ast$-function, the authors then obtain its intrinsic square function characterizations including the intrinsic Littlewood-Paley $g$-function, the intrinsic Lusin area function and the intrinsic $g_λ^\ast$-function. The $p(\cdot)$-Carleson measure characterization for the dual space of $H^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$, the variable exponent Campanato space $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb R^n)$, in terms of the intrinsic function is also presented.

研究の動機と目的

• 可変指数設定 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ における古典的ハーディー空間特徴づけを拡張すること。
• $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ に対する固有の平方関数特徴づけ（固有の $g$、$g^*_{\lambda}$、および固有のルジン面積関数）を確立すること。
• 固有の平方関数を用いて双対空間 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ を $p(\cdot)$-カールソン測度によって特徴づけること。
• 重み付きおよびムシエラク・オルリツハーディー空間に関する先行結果を可変指数の場合に一般化すること。

提案手法

• まず、古典的平方関数（リトルウッド・ペリー $g$-関数、ルジン面積関数、$g^*_{\lambda}$-関数）を用いて $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づける。
• 次に、これらの平方関数の等価な固有版を確立し、$p(\cdot)$ が局所的対数ホルダー連続でかつ減衰条件を満たす場合に $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ と同等であることを証明する。
• 原子分解とテント空間技術を用いて、最大関数および平方関数作用素を介して $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ をテント空間ノルムと関連付ける。
• $b \in \mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ に対して、固有の平方関数 $\widetilde{A}_{(\alpha,\epsilon),s}(b)(x,t)$ を定義し、$p(\cdot)$-カールソン測度に関してその有界性を証明する。
• テント空間におけるプラナッセルの定理およびホルダーの不等式を用いて、双対ペアリング $\int f \bar{b} \, dx$ を固有の平方関数ノルムによって上から抑える。
• dyadic 分解および立方体ストッピング時間の議論を用いて、dyadic 立方体上での固有の平方関数の $L^2$-ノルムを制御し、$p(\cdot)$-カールソン測度条件に到達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p(\cdot)$ に最小限の仮定をおく場合、固有の平方関数は可変指数ハーディー空間 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づけられるか？
• RQ2 固有の $g^*_{\lambda}$-関数が $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づけるために必要な $\lambda$ の正確な範囲は何か？
• RQ3 双対空間 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ はどのようにして固有の平方関数を用いて特徴づけられるか？
• RQ4 $p(\cdot)$-カールソン測度条件は、双対ペアリングが有界であるために必要かつ十分か？

主な発見

• $p(\cdot)$ が局所的対数ホルダー連続でかつ減衰条件を満たす場合、固有のリトルウッド・ペリー $g$-関数は $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づける。
• $\lambda > 2 + 2(\alpha + s)/n$ の範囲で、固有の $g^*_{\lambda}$-関数は $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づける。これは文献で知られている最良の範囲と一致する。
• 同じ $p(\cdot)$ の条件下で、固有のルジン面積関数も $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づける。
• 双対空間 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ は、固有の平方関数 $\widetilde{A}_{(\alpha,\epsilon),s}(b)$ における $p(\cdot)$-カールソン測度条件によって特徴づけられる。
• $p(\cdot)$-カールソン測度ノルム $\|d\mu\|_{p(\cdot)}$ は、$n$、$p(\cdot)$、$\alpha$、$\epsilon$、$s$ のみに依存する定数を除いて、$b$ の $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ におけるノルムと同等である。
• 双対ペアリング $\int f \bar{b} \, dx$ は $\|f\|_{H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)} \|d\mu\|_{p(\cdot)}$ によって上から抑えられ、これにより、固有の平方関数を介した $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ と $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ の双対性が確立される。