[論文レビュー] Intrinsic square functions on the weighted Morrey spaces

Hua Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$1 < p < \infty$ および $0 < \rho < 1$ に対して、$A_p$ 重みの下で重み付きモリーエ空間 $L^{p,\rho}(w)$ 上における内在的平方関数（ルジンの面積積分、リトルウッド・パレスの $g$-関数、$g^*_{\lambda}$-関数を含む）の有界性を確立する。さらに、$BMO(\mathbb{R}^n)$ 関数との交換子についても有界性が示され、古典的結果を重み付きモリーエ設定へと拡張し、$\lambda > \max\{p, 3\}$ の条件下で鋭い推定を得た。

ABSTRACT

In this paper, we will study the boundedness properties of intrinsic square functions including the Lusin area integral, Littlewood-Paley $g$-function and $g^*_λ$-function on the weighted Morrey spaces $L^{p,κ}(w)$ for $1

研究の動機と目的

• 重み付きモリーエ空間 $L^{p,\kappa}(w)$ 上における内在的平方関数 $\mathcal{S}_\alpha(f)$ の $L^p_w$ 有界性を確立すること。
• 内在的平方関数の理論を、リーマン積分空間および古典的モリーエ空間を一般化する重み付きモリーエ空間設定へと拡張すること。
• 内在的平方関数と $BMO(\mathbb{R}^n)$ 関数からなる交換子の重み付きモリーエ空間枠組みにおける有界性を調査すること。
• 重み $w$ の $A_p$ 特徴定数に関する鋭いノルム推定を提供することにより、既存の $L^p_w$ 界の改善を行うこと。

提案手法

• 内在的平方関数 $\mathcal{S}_\alpha(f)$ は、$\mathcal{C}_\alpha$ に属する滑らかで compact な台を持ち、平均がゼロである関数 $\varphi$ に対して、$f * \varphi_t$ の畳み込みを、$\Gamma(x)$ における錐領域で積分し、その上界をとることで定義される。
• $g^*_{\lambda,\alpha}$-関数は、距離 $|x-y|$ に基づく dyadic アニュラスへの積分の分解により解析され、$\left(\frac{t}{t+|x-y|}\right)^{\lambda n}$ のカーネルを用いて減衰を制御する。
• 証明は周波数および空間的局在化の dyadic 分解に依存し、$f = f_1 + f_2$ と分解して $f_1 = f \chi_{2B}$ および $f_2 = f \chi_{\mathbb{R}^n \setminus 2B}$ とし、局所的および大域的寄与を別々に取り扱う。
• 重み付き弱型推定および $A_p$ 重みの逆ヒルバート不等式を用いて、最大関数の成長および重みとカーネルの相互作用を制御する。
• $A_\alpha(f)$ の点ごとの制御に関する補題および、可変開口角 $\beta$ に対する $\mathcal{S}_{\alpha,\beta}$ の有界性に関する補題を適用し、$g^*_{\lambda,\alpha}$-関数を局所化された平方関数の和で上から抑える。
• 最終的な推定は、dyadic な世代にわたる和をとり、$\lambda > \max\{p, 3\}$ の下で収束する系列 $\sum_j 2^{-j\lambda n/2} \cdot 2^{3jn/2}$ および $\sum_j 2^{-j\lambda n/2} \cdot 2^{jnp/2}$ を用いることで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内在的平方関数は、$1 < p < \infty$ および $0 < \kappa < 1$ に対して、重み付きモリーエ空間 $L^{p,\kappa}(w)$ 上で有界か？
• RQ2 $g^*_{\lambda,\alpha}$-関数は、局所化された平方関数 $\mathcal{S}_{\alpha,2^j}(f)$ の和によって支配可能か？ そのような支配が $L^{p,\kappa}(w)$ での有界性をもたらす条件は何か？
• RQ3 内在的平方関数と $BMO(\mathbb{R}^n)$ 関数との交換子は、重み付きモリーエ空間上でも有界のままであるか？
• RQ4 重み $w$ の $A_p$ 特徴定数に対する演算子ノルムの鋭い依存関係は何か？
• RQ5 dyadic 分解において生じる系列が収束し、一様な界を得るために必要な $\lambda$ の条件は何か？

主な発見

• 内在的平方関数 $\mathcal{S}_\alpha(f)$ は、$1 < p < \infty$、$0 < \kappa < 1$、$w \in A_p$ の下で $L^{p,\kappa}(w)$ 上で有界であり、その演算子ノルムは $f$ に依存しない。
• $g^*_{\lambda,\alpha}$-関数は、$\lambda > \max\{p, 3\}$ の下で $\|g^*_{\lambda,\alpha}(f)\|_{L^{p,\kappa}(w)} \leq C\|f\|_{L^{p,\kappa}(w)}$ を満たし、証明における重要な系列の収束を保証する。
• $BMO(\mathbb{R}^n)$ 関数 $b$ に対する交換子 $[b, \mathcal{S}_\alpha](f)$ は、$L^{p,\kappa}(w)$ 上で有界であり、非同次設定への理論の拡張がなされた。
• 証明は、錐 $\Gamma_{2^j}(x)$ の dyadic 分解および重みの二重性および逆ヒルバート不等式を含む推定に依存する。
• 関数の外側部分から生じる項 $I^{(2)}_j$ は、$C \|f\|_{L^{p,\kappa}(w)} \cdot 2^{3jn/2} \sum_{k=1}^\infty w(2^{k+1}B)^{(\kappa-1)/p}$ で抑えられ、重みの二重性条件の下で和が収束する。
• 最終的な推定では、$g^*_{\lambda,\alpha}(f)$ の全 $L^{p,\kappa}(w)$ ノルムが $\|f\|_{L^{p,\kappa}(w)}$ の定数倍で抑えられ、$\lambda > \max\{p, 3\}$ の下で収束が保証される。