[論文レビュー] Intrinsic volumes of Sobolev balls

Zakhar Kabluchko, Dmitry Zaporozhets|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、Sudakovの公式を用いてヒルバート空間内の無限次元ソボレフ型球の固有体積を計算し、それらをイソノーラルガウス過程に関連付ける。[0,1] 上のリプシッツ連続および積分ゼロ関数の k 番目の固有体積について正確な公式を導出し、ブラウン運動およびブリッジによって生成される凸包およびゾノイドの期待体積を計算するために応用する。エルドゥアンの結果の新しい証明を提示し、ブラウン運動ブリッジへと拡張する。

ABSTRACT

A formula due to Sudakov relates the first intrinsic volume of a convex set in a Hilbert space to the maximum of the isonormal Gaussian process over this set. Using this formula we compute the first intrinsic volumes of infinite-dimensional convex compact sets including unit balls with respect to Sobolev-type seminorms and ellipsoids in the Hilbert space. We relate the distribution of the random one-dimensional projections of these sets to the distributions $S_1,S_2,C_1,C_2$ studied by Biane, Pitman, Yor [Bull. AMS 38 (2001)]. We show that the $k$-th intrinsic volume of the set of all functions on $[0,1]$ which have Lipschitz constant bounded by $1$ and which vanish at $0$ (respectively, which have vanishing integral) is given by $$ V_k = \frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\left(\frac 32 k +1 ight)}, ext{ respectively } V_k = \frac{\pi^{(k+1)/2}}{2\Gamma\left(\frac 32 k +\frac 32 ight)}. $$ This is related to the results of Gao and Vitale [Discrete Comput. Geom. 26 (2001), Elect. Comm. Probab. 8 (2003)] who considered a similar question for functions with a restriction on the total variation instead of the Lipschitz constant. Using the results of Gao and Vitale we give a new proof of the formula for the expected volume of the convex hull of the $d$-dimensional Brownian motion which is due to Eldan [Elect. J. Probab., to appear]. Additionally, we prove an analogue of Eldan's result for the Brownian bridge. Similarly, we show that the results on the intrinsic volumes of the Lipschitz balls can be translated into formulae for the expected volumes of zonoids (Aumann integrals) generated by the Brownian motion and the Brownian bridge. Also, these results have discrete versions for Gaussian random walks and bridges. Our proofs exploit Sudakov's and Tsirelson's theorems which establish a connection between the intrinsic volumes and the isonormal Gaussian process.

研究の動機と目的

• ソボレフ型セミノルムによって定義される無限次元の凸コンパクト集合の固有体積を計算すること。
• これらの集合の1次元射影の分布を Biane-Pitman-Yor 分布 S₁, S₂, C₁, C₂ に関連付けること。
• [0,1] 上のリプシッツ連続および積分ゼロ関数空間の k 番目の固有体積について明示的な公式を導出すること。
• これらの結果を用いて、ブラウン運動およびブラウン運動ブリッジによって生成される凸包およびゾノイドの期待体積を計算すること。
• d 次元ブラウン運動の凸包の期待体積に関するエルドゥアンの公式の新しい証明を提示し、ブラウン運動ブリッジへと拡張すること。

提案手法

• ヒルバート空間内の凸集合の第1固有体積を、集合上でのイソノーラルガウス過程の最大値に関連付けるために Sudakov の公式を用いる。
• 固有体積とガウス過程の分布的性質を結びつけるために Tsirelson の定理を適用する。
• イソノーラルガウス過程を用いて射影を分析し、ソボレフ球の体積公式を導出する。
• ガンマ関数の恒等式を用いて、リプシッツ連続および積分ゼロ関数集合の k 番目の固有体積の正確な表現を導出する。
• 固有体積に関する結果を、ブラウン運動およびブリッジのパスの Aumann 積分（ゾノイド）の期待体積の公式に翻訳する。
• 離散的設定、特にガウス確率ウォークおよびブリッジについても、類似の体積計算を用いてフレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間 [0,1] 上で有界なリプシッツ定数を持つソボレフ空間の単位球の固有体積は何か？
• RQ2 積分がゼロである関数の集合の固有体積は、有界なリプシッツ定数を持つ関数の集合のそれとどのように関係するか？
• RQ3 イソノーラルガウス過程と Sudakov の公式を用いて、ソボレフ型球の固有体積を計算できるか？
• RQ4 d 次元ブラウン運動の凸包の期待体積は何か？そして、固有体積の技法を用いて再び導出可能か？
• RQ5 ブラウン運動ブリッジによって生成されるゾノイドの期待体積は何か？ブラウン運動の場合と比べてどう異なるか？

主な発見

• 0 でゼロとなる [0,1] 上の 1-リプシッツ連続関数の集合の k 番目の固有体積は、$ V_k = \frac{\pi^{k/2}}{\Gamma\left(\frac{3}{2}k + 1\right)} $ で与えられる。
• 積分がゼロでかつ有界なリプシッツ定数を持つ [0,1] 上の関数の集合の k 番目の固有体積は、$ V_k = \frac{\pi^{(k+1)/2}}{2\Gamma\left(\frac{3}{2}k + \frac{3}{2}\right)} $ で与えられる。
• これらのソボレフ球の1次元射影の分布は、Biane-Pitman-Yor 分布 S₁, S₂, C₁, C₂ と一致する。
• これらの結果により、d 次元ブラウン運動の凸包の期待体積に関するエルドゥアンの公式の新しい証明が得られる。
• ブラウン運動ブリッジによって生成されるゾノイドの期待体積についても類似の公式が導出され、従来の結果が拡張される。
• ガウス確率ウォークおよびブリッジについての離散的類似が確立され、有限次元において同じ体積スケーリングの性質を示す。