[論文レビュー] Intrinsically knotted graphs with 21 edges

Jamison Barsotti, Thomas W. Mattman|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$K_7$ に対して $\nabla\mathrm{Y}$ 移動を施した14個のグラフが、21本の辺をもつ唯一のマイナー最小非自明な絡みつき（MMIK）グラフであることを証明している。辺数に依存する帰納法と、$\nabla\mathrm{Y}$ 移動が非自明な絡みつきを保存することを用いて、21本の辺をもつ他のグラフがMMIKにはなり得ないことを示し、MMIKグラフの辺数による分類を完成させた。

ABSTRACT

We show that the 14 graphs obtained by $ abla\mathrm{Y}$ moves on K_7 constitute a complete list of the minor minimal intrinsically knotted graphs on 21 edges. We also present evidence in support of a conjecture that the 20 graph Heawood family, obtained by a combination of $ abla\mathrm{Y}$ and $\mathrm{Y} abla$ moves on K_7, is the list of graphs of size 21 that are minor minimal with respect to the property not 2--apex.

研究の動機と目的

• 21本の辺をもつマイナー最小非自明な絡みつき（MMIK）グラフを辺数で完全に分類すること。
• $K_7$ に対して $\nabla\mathrm{Y}$ 移動を施して得られる14個のグラフ（KSグラフ）が、21本の辺をもつ唯一のMMIKグラフであることを証明すること。
• ヘーウッド族（$K_7$ に対して $\nabla\mathrm{Y}$ および $\mathrm{Y}\nabla$ 移動を施して得られる20個のグラフ）が、21本の辺をもつマイナー最小非2アプス（MMN2A）グラフをすべて含むかどうかを調査すること。
• $\mathrm{Y}\nabla$ 移動が、特に21本の辺をもつグラフにおいて非2アプス性を保存するかどうかを検討すること。

提案手法

• 14頂点のグラフから11〜13頂点のグラフへと頂点数を減少させる帰納法を用い、21本の辺をもつ可能性のあるMMIKグラフを分析する。
• $\nabla\mathrm{Y}$ 移動が非自明な絡みつきを保存するという事実（サックスに帰属）を活用し、グラフ変換の過程でもIK性が保たれることを保証する。
• 次数列の解析と頂点削除の議論を適用する：グラフ $G$ が21本の辺をもつとき、任意の2頂点 $a, b$ に対して $G - a, b$ が平面的であれば、$G$ はN2Aでない。これは、MMIKまたはMMN2Aであるという仮定に矛盾する。
• 既知の小規模非平面的グラフの分類（例：(7,10), (7,11), (8,12), (8,13)）を用い、ケース解析によって候補となるグラフを除外する。
• $YT$ 移動（$\nabla\mathrm{Y}$ の一種）を用いて次数3の頂点をもつグラフをより小さいグラフに縮小し、Proposition 1.4に依拠してN2A性が保たれることを保証する。
• 次数4および次数5のグラフにおける対称性と隣接制約を用い、$G - a, b$ が平面的になるような構成を除外することで、N2AまたはMMIK性に矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 21本の辺をもつマイナー最小非自明な絡みつきグラフは、14個のKSグラフに限られるか？
• RQ2 ヘーウッド族（$K_7$ に対して $\nabla\mathrm{Y}$ および $\mathrm{Y}\nabla$ 移動を施して得られる20個のグラフ）は、21本の辺をもつマイナー最小非2アプス（MMN2A）グラフの完全なリストか？
• RQ3 $\mathrm{Y}\nabla$ 移動は、21本の辺をもつグラフにおいて非2アプス性を保存するか？
• RQ4 非2アプスであるが、$\mathrm{Y}\nabla$ 移動を施すと2アプスになる最小のグラフは何か？

主な発見

• $K_7$ に対して $\nabla\mathrm{Y}$ 移動を施して得られる14個のグラフは、21本の辺をもつ唯一のマイナー最小非自明な絡みつき（MMIK）グラフである。
• 21本の辺をもつ連結な非自明な絡みつきグラフはすべてマイナー最小である。なぜなら、20本の辺をもつグラフは非IKであることが既知だからである。
• 11、12、または13頂点をもち21本の辺をもつ非2アプスグラフは、すべてヘーウッド族に属する必要がある。
• 14頂点以上でマイナー最小非2アプスであるグラフは、最小次数が3で、同じ構造的制約を満たすため、ヘーウッドグラフでなければならない。
• 次数列 $\{4^8, 5^2\}$ で、2つの次数5頂点が隣接している場合、$G - a, b$ が8頂点の立方体グラフであるとすると、唯一の可能性はヘーウッド族のグラフ20である。
• 10頂点で21本の辺をもち、最小次数が3より大きい非2アプスグラフは、ヘーウッド族のグラフ20でなければならない。これは、このクラスにおいてその一意性を裏付けている。