[論文レビュー] Introduction into Geometry over Division Ring

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|May 31, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、普遍代数の塔型表現を用いてアフィン空間およびユークリッド空間を一般化することで、除法環上での微分幾何学の新しい枠組みを提案する。$D$-アフィン接続および共変微分の変換則を確立し、双線形接続係数と自己同型不変構造を用いて、非可換設定への古典的微分幾何学の拡張を実現する。

ABSTRACT

Theory of representations of F-algebra is a natural development of the theory of F-algebra. Exploring of morphisms of the representation leads to the concepts of generating set and basis of representation. In the book I considered the notion of tower of representations of F_i-algebras, i=1, ..., n, as the set of coordinated representations of F_i-algebras. I explore the geometry of affine space as example of tower of representations. Exploration of curvilinear coordinates allows us to see how look at the main structures of the manifold with affine connection. I explore Euclidean space over division ring.

研究の動機と目的

• 体ではなく除法環上の空間に、古典的アフィン幾何およびユークリッド幾何を一般化すること。
• 普遍代数の$T^*$-表現を用いた幾何学の表現論的基盤を構築すること。
• $D$-アフィン空間を表現の塔として定義し、非可換設定における接続および曲率の研究を可能にすること。
• 座標変換における$D$-アフィン接続係数の変換則を導出し、古典的クリスティオーベル記号の変換の一般化を行うこと。
• 共変微分を用いて$D$-アフィン多様体における平行移動および測地線の概念を確立すること。

提案手法

• 除法環$D$の各レベルが$\text{End}(D)$-代数の$T^*$-表現に対応する、$\text{End}(D)$-代数の$T^*$-表現の塔として$D$-アフィン空間をモデル化する。
• 表現間の準同型を構造を保全する写像として定義し、ベクトル空間内の線形写像の一般化とする。
• 生成集合および基底を導入し、基底は表現空間上での単一の推移的作用によって定義する。
• 座標変換の合成関数のチェインルールおよび2階微分を用いて、座標変換における$D$-アフィン接続係数の変換則を導出する。
• ベクトル場の共変微分を$ D(\bar{v})(d\bar{x}) = \nabla(\bar{v})(d\bar{x}) - \tilde{\nabla}(\bar{v})(d\bar{x}) $として表現し、ここで$ \tilde{\nabla} $は$D$-アフィン接続である。
• 測地線を条件$ \nabla^2 \bar{x}(d\bar{x}; d\bar{x}) = \tilde{\nabla}(d\bar{x})(d\bar{x}) $により定義し、古典的測地線方程式の一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン幾何およびユークリッド幾何は、体ではなく除法環上の空間にどのように一般化できるか？
• RQ2 $T^*$-表現および表現の塔は、非可換環上での幾何的構造の構築に果たす役割は何か？
• RQ3 非可換幾何学において、座標変換における$D$-アフィン接続係数はどのように変化するか？
• RQ4 共変微分を用いて、平行移動および測地線の概念を$D$-アフィン多様体に拡張できるか？
• RQ5 $D$-アフィン空間の表現論的構造と非可換微分幾何（例えば、コンヌスタイルの幾何）との関係は何か？

主な発見

• 座標変換における$D$-アフィン接続係数の変換則は、$ \tilde{\nabla}^{\text{new}} = \frac{\tilde{\nabla}^{\text{old}} \frac{\tilde{\nabla}^{\text{old}}}{\tilde{\nabla}^{\text{old}}} + \frac{\tilde{\nabla}^{\text{old}}}{\tilde{\nabla}^{\text{old}}} }{ \text{ヤコビアン項} } $として導出され、明示的に$ \tilde{\nabla}^{\text{new} p}_{ji}(v^{\text{new} i})(a^{\text{new} j}) = \frac{\tilde{\nabla}^p}{\tilde{\nabla}^r} \big( \tilde{\nabla}^r_{mk} \big( \frac{\tilde{\nabla}^k}{\tilde{\nabla}^i} v^{\text{new} i} \big) \big( \frac{\tilde{\nabla}^m}{\tilde{\nabla}^j} a^{\text{new} j} \big) + \frac{\tilde{\nabla}^2 x^r}{\tilde{\nabla} x^{\text{new} j} \tilde{\nabla} x^{\text{new} i}} (v^{\text{new} i}; a^{\text{new} j}) \big) $と表される。
• ベクトル場の共変微分は、$ D(\bar{v})(d\bar{x}) = \nabla(\bar{v})(d\bar{x}) - \tilde{\nabla}(\bar{v})(d\bar{x}) $として定義され、ここで$ \tilde{\nabla} $は$D$-アフィン接続である。
• ベクトル場が平行移動されるのは$ \nabla(\bar{v})(d\bar{x}) = \tilde{\nabla}(\bar{v})(d\bar{x}) $を満たすときであり、これは古典的平行移動条件の一般化である。
• $D$-アフィン多様体における測地線は方程式$ \nabla^2 \bar{x}(d\bar{x}; d\bar{x}) = \tilde{\nabla}(d\bar{x})(d\bar{x}) $により定義され、これは2階微分条件と同値である。
• この枠組みにより、除法環上の1形式は係数が形式に埋め込まれる内部線形従属性を示す可能性があり、非可換幾何学における新しい代数的構造の可能性を示唆する。
• $T^*$-表現および生成集合の理論は、非可換幾何的空間における基底の構築の基盤を提供するが、量子幾何学に向けた有効なアルゴリズムは未解決のままである。