[論文レビュー] Introduction into "Local Correlation Modelling"

Alex Langnau|ArXiv.org|Sep 18, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、マルチアセットデリバティブの価格設定を、インデックスオプション市場と個別オプション市場の両方に一貫性を持たせるために、デュプリのローカル・ボラティリティ・モデルの数値的に効率的な拡張として、ローカル相関モデリング（LCM）を導入する。相関を動的にすることで、個別およびインデックス・オプション市場の両方に整合する価格設定が可能となる。主な貢献は、『ガムズーム』と呼ばれる動き——バケットおよび個別証券の分布を保ちつつ、ワースト・オブ・オプションの価格に顕著な影響を与える相関のシフト——を同定し、これが一次主成分を越えた高次相関ダイナミクスに敏感であることを示している。

ABSTRACT

In this paper we provide evidence that financial option markets for equity indices give rise to non-trivial dependency structures between its constituents. Thus, if the individual constituent distributions of an equity index are inferred from the single-stock option markets and combined via a Gaussian copula, for example, one fails to explain the steepness of the observed volatility skew of the index. Intuitively, index option prices are encoding higher correlations in cases where the option is particularly sensitive to stress scenarios of the market. As a result, more complex dependency structures emerge than the ones described by Gaussian copulas or (state-independent) linear correlation structures. In this paper we "decode" the index option market and extract this correlation information in order to extend the multi-asset version of Dupire's "local volatility" model by making correlations a dynamic variable of the market. A "local correlation" model (LCM) is introduced for the pricing of multi-asset derivatives. We show how consistency with the index volatility data can be achieved by construction. LCM achieves consistency with both the constituent- and index option markets by construction while preserving the efficiency and easy implementation of Dupire's model.

研究の動機と目的

• 決定論的相関行列やガウス・コペュラを用いる場合に生じるインデックス・オプション市場と個別銘柄オプション市場との間に生じる不整合を是正すること。
• 市場で観察されるスケューおよびボラティリティ・パターンをよりよく反映する、状態依存の相関ダイナミクスをモデル化すること。
• バケット・ボラティリティ・スケューのみで捉えきれない、マルチアセット・デリバティブにおける残余相関リスクを定量化すること、特にワースト・オブ・オプションに注目すること。
• ワースト・オブ・オプションが高次相関ダイナミクス（例：『ガムズーム』の動き）に敏感であることを示し、これにより資産間の連携ダイナミクスを推定する上で価値があることを示すこと。
• デュプリのローカル・ボラティリティ・フレームワークを、動的相関を有するマルチアセット設定に拡張しつつ、観測されたオプション・プライスへのキャリブレーションを維持すること。

提案手法

• ベースとなる相関 $\rho$ のまわりに中心を置いた相関行列の族 $\hat{\rho}_{ij} \in F(\rho, \xi)$ を構築し、状態変数 $u$ によって摂動を制御する。
• 式 LABEL:ustar を用いた解析的逆写像により、観測された相関シフトから状態変数 $u$ を計算する。
• 効率的なモンテカルロ・シミュレーションのため、事前に相関行列とそのコレスキー分解のルックアップテーブルを事前計算する。
• パスごとのシミュレーションでコレスキー分解を適用し、目的の相関構造と整合性を持つ相関付きブラウン運動を生成する。
• 各資産のボラティリティがそのスポット価格に依存するローカル・ボラティリティ・フレームワークを採用し、デュプリの単一資産モデルをマルチアセット設定に拡張する。
• 個別オプション価格とインデックス・オプション価格の両方にキャリブレーションを施し、全期間構造にわたる一貫性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックス・オプション市場と個別オプション市場の両方に一貫性を持つマルチアセット・ローカル・ボラティリティ・モデルをどのように構築できるか？
• RQ2 一次主成分を越えた相関ダイナミクスが、レア・マルチアセット・デリバティブの価格に与える影響は何か？
• RQ3 なぜワースト・オブ・オプションは、バケットおよび個別証券の分布を保つ『ガムズーム』の動きに対して顕著な価格感度を示すのか？
• RQ4 ワースト・オプションは、インデックス・ボラティリティ・スケューから観察できない、隠れた相関ダイナミクスをどれほど明らかにできるか？
• RQ5 観測されたオプション・プライスへのキャリブレーションを維持しつつ、相関行列の解の非一意性はどのように管理できるか？

主な発見

• 60%のストライクにおいて、2つのキャリブレーション設定間でワースト・オブ・プットの価格に顕著な差が生じている：セット1（市場に類似した相関を中心とする）では0.306、セット2（単位行列を中心とする）では0.463であり、個別およびバケットの分布は同一である。
• 両設定間で平均相関は概ね同一であるため、バケットレベルでの一貫性が、レア・オプションの価格に等価であるとは限らないことが示された。
• ワースト・オブ・オプションは、バケットおよび個別証券の分布を保ちつつ、同時依存構造を変化させる高次相関ダイナミクス（例：『ガムズーム』の動き）に非常に敏感である。
• インデックス・ボラティリティ・スケューの約半分しか、個別銘柄のスケューでは説明できないため、状態依存の相関ダイナミクスがインデックス行動の説明において重要な役割を果たしていることが示唆された。
• LCMモデルは、局所市場状態に応じて相関を動的に調整することで、これらの残余相関リスクを的確に捉え、レア・デリバティブのより正確な価格設定を可能にした。
• モデルは、インデックス・オプションだけではバケットの完全な連携ダイナミクスを特定できないこと、およびワースト・オプションが市場の完成に重要な追加情報を提供することを示した。