[論文レビュー] Introduction of a Quantum of Time ("chronon"), and its Consequences for Quantum Mechanics

Ruy Farias, Erasmo Recami|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 1997

Quantum Mechanics and Applications参考文献 72被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、非相対論的量子力学を有限差分方程式を用いて再定式化するため、時間の基本単位であるクロノン（$\tau_0$）を導入する。これにより、シュレーディンガー、ハイゼンベルク、密度行列の各図式における新しい表現が得られる。主な結果として、離散化された量子力学は遅延形式を用いることで自然に散逸系（dissipative systems）を記述でき、レプトンの離散的質量スペクトルを導出する。一方、標準的量子力学は、$\tau_0 \to 0$ の対称的形でのみ回復される。このアプローチでは、不安定状態の物理的寿命をモデル化する非エルミート的有効ハミルトニアンが導入され、電荷を帯びた粒子におけるデコherenceおよび放射エネルギー放出のための新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this review-article, we discuss the consequences of the introduction of a quantum of time tau_0 in the formalism of non-relativistic quantum mechanics (QM) by referring ourselves in particular to the theory of the "chronon" as proposed by P.Caldirola. Such an interesting "finite difference" theory, forwards --at the classical level-- a solution for the motion of a particle endowed with a non-negligible charge in an external electromagnetic field, overcoming all the known difficulties met by Abraham-Lorentz's and Dirac's approaches (and even allowing a clear answer to the question whether a free falling charged particle does or does not emit radiation), and --at the quantum level-- yields a remarkable mass spectrum for leptons. After having briefly reviewed Caldirola's approach, we compare one another the new Schroedinger, Heisenberg and density-operator (Liouville-von Neumann) pictures resulting from it. Moreover, for each representation, three (retarded, symmetric and advanced) formulations are possible, which refer either to times t and t-tau_0, or to times t-tau_0/2 and t+tau_0/2, or to times t and t+tau_0, respectively. It is interesting to notice that, e.g., the "retarded" QM does naturally appear to describe QM with friction, i.e., to describe dissipative quantum systems (like a particle moving in an absorbing medium). In this sense, discretized QM is much richer than the ordinary one. When the density matrix formalism is applied to the solution of the measurement problem in QM, very interesting results are met, so as a natural explication of "decoherence".

研究の動機と目的

• 時間の基本区間 $\tau_0$（クロノン）に基づく、非相対論的量子力学の整合的な有限差分形式を構築すること。
• 時間の離散化がシュレーディンガー、ハイゼンベルク、密度演算子図式に与える影響を調査し、遅延、対称、進化の3つの形式を比較すること。
• 遅延形式が自然に散逸的量子系（吸収性媒体内の粒子など）を記述できることを示すこと。
• 有限差分時間発展演算子を導出し、連続極限において非エルミート的ハミルトニアンと等価であることを示すこと。
• 自由粒子、調和振動子、水素原子といった物理系および測定問題への適用を通じて、デコherenceおよび放射エネルギー放出に関する新たな知見を明らかにすること。

提案手法

• 時間の離散的格子（基本区間 $\tau_0$）を導入し、時間発展演算の有限差分方程式を導出する。
• 時間インデックスを $t$ と $t \pm \tau_0$、または $t \pm \tau_0/2$ にずらすことにより、遅延、対称、進化の3形式を導出する。
• 遅延形式に対して時間発展演算子 $\hat{U}_{\text{ret}}(t,t_0) = \left(1 + \frac{i}{\hbar}\tau\hat{H}\right)^{-(t-t_0)/\tau}$ を構築する。
• 発展演算子を $\tan^{-1}$ および $\ln$ 関数を含む指数関数形式で表現し、非エルミート的有効ハミルトニアン $\tilde{H} = \hat{\kappa} - i\hat{\nu}$ と関連付ける。
• ファインマン経路積分法を用いて有限差分シュレーディンガー方程式を導出し、その解を検討する。
• 密度行列形式を用いてデコherenceおよび測定をモデル化し、遅延形式において状態の縮退が自然に出現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間の基本区間 $\tau_0$ を導入することで、シュレーディンガー、ハイゼンベルク、密度行列図式における標準的量子力学形式はどのように変化するか？
• RQ2 なぜ対称的形でのみ $\tau_0 \to 0$ の極限において標準的量子力学が回復されるのか？一方、遅延形式はなぜ散逸的系を記述できるのか？
• RQ3 非エルミート的ハミルトニアンを事前に導入しない有限差分アプローチが、崩壊率や寿命といった不安定状態の物性現象を再現できるか？
• RQ4 調和振動子や水素原子といった系において、離散的量子力学の予測は標準的QMとどのように異なるか？
• RQ5 離散的QMの遅延形式が、時間発展演算の内在的性質によって自然にデコherenceおよび測定問題を説明できるか？

主な発見

• 遅延形式の離散的QMでは、発展演算子に内在する減衰項のおかげで、吸収性媒体内の粒子のような散逸的量子系が自然に記述できる。
• 対称的形では $\tau_0 \to 0$ の極限でのみ標準的量子力学が回復されるが、遅延および進化形式では回復しない。
• 遅延形式における発展演算子は、$\hat{U}_{\text{ret}}(t,t_0) = \exp\left[-\frac{(t-t_0)}{2\tau}\ln\left(1+\frac{\tau^2\hat{H}^2}{\hbar^2}\right)\right]\exp\left[-i\frac{t-t_0}{\tau}\tan^{-1}\left(\frac{\tau\hat{H}}{\hbar}\right)\right]$ と表現され、非エルミート的有効ハミルトニアンと関連づけられる。
• 不安定状態では、寿命 $\tau_L$ が $\tau_L = \frac{\tau}{\ln\left(1 + \frac{\tau^2 E_n^2}{\hbar^2}\right)}$ として遅延形式で導出され、崩壊率から $\tau_0$ を推定するための物性的手段を提供する。
• 対称的形で臨界エネルギーを超えると、$\hat{\nu}$ は $\hat{H}$ に依存しなくなり、$\hat{\kappa}$ はエネルギーに依存する非ゼロの値をとるようになり、時間発展演算の標準的ユニタリ性が破れる。
• この形式は、遅延発展演算子に含まれる一時的項のおかげで、デコherenceが自然に説明され、測定における状態の縮退に動的な説明を与える。