[論文レビュー] Introduction to 1-summability and resurgence

David Sauzin|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 23被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、発散する形式的べき級数のBorel-Laplace和分の観点から、1-和分可能性およびÉcalleの再帰的理論について、自己完結的な導入を提供する。再帰的級数が合成に関して閉じた代数をなすことを確立し、その理論を、放物的状況における正則微分同相の「恒等写像に接する」芽の分類および非線形微分方程式の解の解析（異方的微積分と Stokes 現象を用いて）に応用する。

ABSTRACT

This text is about the mathematical use of certain divergent power series. The first part is an introduction to 1-summability. The definitions rely on the formal Borel transform and the Laplace transform along an arbitrary direction of the complex plane. Given an arc of directions, if a power series is 1-summable in that arc, then one can attach to it a Borel-Laplace sum, i.e. a holomorphic function defined in a large enough sector and asymptotic to that power series in Gevrey sense. The second part is an introduction to Ecalle's resurgence theory. A power series is said to be resurgent when its Borel transform is convergent and has good analytic continuation properties: there may be singularities but they must be isolated. The analysis of these singularities, through the so-called alien calculus, allows one to compare the various Borel-Laplace sums attached to the same resurgent 1-summable series.In the context of analytic difference-or-differential equations, this sheds light on the Stokes phenomenon. A few elementary or classical examples are given a thorough treatment (the Euler series, the Stirling series, a less known example by Poincaré). Special attention is devoted to non-linear operations: 1-summable series as well as resurgent series are shown to form algebras which are stable by composition. As an application, the resurgent approach to the classification of tangent-to-identity germs of holomorphic diffeomorphisms in the simplest case is included. An example of a class of non-linear differential equations giving rise to resurgent solutions is also presented. The exposition is as self-contained as can be, requiring only some familiarity with holomorphic functions of one complex variable.

研究の動機と目的

• 複素平面上の方向に沿った形式的Borel変換とLaplace変換を用いて、1-和分可能な形式的べき級数のBorel-Laplace和分の厳密な枠組みを構築すること。
• Écalleの再帰的理論を導入し、Borel変換の解析接続と特異点の役割に焦点を当てる。
• 1-和分可能かつ再帰的級数が合成といった非線形操作についても閉じていることを示すこと。
• 再帰的理論を用いて、放物的状況における正則微分同相の「恒等写像に接する」芽を分類すること。
• 異方的作用素と記号的 Stokes 自動化を用いて、非線形微分方程式の解の Stokes 現象および漸近的挙動を解析すること。

提案手法

• 複素平面上の方向に沿った形式的Borel変換とLaplace変換を用いて、1-和分可能性を定義する。
• Borel-Laplace和分を、Gevrey的意味で発散する形式的級数に漸近的となる正則関数として定義する。
• 異方的微積分を用いてBorel変換の特異点を解析し、異方的作用素Δωを介して異なるBorel-Laplace和分を関連付ける。
• 記号的 Stokes 自動化を用いて、Stokes直線を越えて生じる漸近展開の不連続な遷移を記述する。
• 形式的微分同相の合成と関連づけるために、ブリッジ方程式を構成する。
• 再帰的級数が形式的微分同相の群における合成および逆元に関して閉じていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束半径がゼロである発散する形式的べき級数を、Borel-Laplace和分によって意味のある正則関数に割り当てる方法は何か？
• RQ2 与えられた領域で形式的級数が1-和分可能であるための条件は何か？また、異なる和分方向どうしの関係は？
• RQ3 異方的作用素Δωは、Stokes直線を越えて生じる漸近展開の不連続的挙動をどのように捉えているか？
• RQ4 再帰的理論は、正則微分同相の「恒等写像に接する」芽の分類にどのように寄与するか？
• RQ5 非線形微分方程式は再帰的解をどのように生じさせ、記号的 Stokes 自動化はその解析においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 1-和分可能な形式的級数のBorel-Laplace和分は、領域内で正則関数として存在し、Gevrey的意味で級数に漸近的である。
• 再帰的形式的級数は合成に関して閉じた代数をなし、非線形力学系の形式的べき級数を用いた研究を可能にする。
• 記号的 Stokes 自動化は、ブリッジ方程式の解空間に作用し、Stokes直線を越えて生じる漸近展開の不連続な変化を符号化する。
• リゾルベントが消える単純な放物的芽に対して、反復写像は再帰的であり、Fatou座標はホーン写像と解析的分類によって関連づけられる。
• 異方的作用素Δωは再帰的関数の空間上で微分作用素として作用し、ブリッジ方程式の解u*に対する作用は、符号および方向に応じてΔωu* = u* ∘ h*^up または h*^low で与えられる。
• 異方的作用素Δωの指数関数的作用は、形式的微分同相h*^up または h*^lowとの合成に等しく、再帰的理論と微分同相の分類との間の深い関係を確立する。