[論文レビュー] Introduction To Arithmetic Groups

Dave Witte Morris|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 80被引用数 191

ひとこと要約

この包括的な独創的論文は、半単純リー群内の格子に注目して、算術群の幾何学的・力学的・表現論的性質を紹介する。マーガリスによる算術性、超剛性、正規部分群構造、および還元理論とラツナーの定理の応用といった基礎的結果を、実ランクおよびQ-ランク、ユニタリ表現、性質(T)の枠組みの下で確立する。

ABSTRACT

This book provides a gentle introduction to the study of arithmetic subgroups of semisimple Lie groups. This means that the goal is to understand the group SL(n,Z) and certain of its subgroups. Among the major results discussed in the later chapters are the Mostow Rigidity Theorem, the Margulis Superrigidity Theorem, Ratner's Theorems, and the classification of arithmetic subgroups of classical groups. As background for the proofs of these theorems, the book provides primers on lattice subgroups, arithmetic groups, real rank and Q-rank, ergodic theory, unitary representations, amenability, Kazhdan's property (T), and quasi-isometries. Numerous exercises enhance the book's usefulness both as a textbook for a second-year graduate course and for self-study. In addition, notes at the end of each chapter have suggestions for further reading. (Proofs in this book often consider only an illuminating special case.) Readers are expected to have some acquaintance with Lie groups, but appendices briefly review the prerequisite background.

研究の動機と目的

• 対称空間の幾何学と力学における算術群の役割を自己完結的に紹介すること。
• マーガリスの算術性定理を用いて、高ランクの半単純リー群内の不可約格子の算術性を確立すること。
• 実ランクおよびQ-ランク、ユニタリ表現、アメニタリティ、カジミールの性質(T)といった主要な道具を用いて、格子の構造を調査すること。
• モストウの剛性、マーガリスの超剛性、および格子内の正規部分群の分類といった基礎的結果を提示すること。
• 古典的結果をS-算術群に拡張し、数体およびp進完備化の間で概念を統合すること。

提案手法

• Iwasawa分解とSiegel集合を用いて、SL(n, Z) が SL(n, R) に格子であることを証明し、単位的軌道の非発散性を活用する。
• 還元理論と粗い基本領域（Siegel集合を用いて）を用いて、算術的部分群の構造を分析する。
• エルゴディック理論とムーアのエルゴディック定理を用いて、不変測度および軌道閉包を研究する。
• ユニタリ表現と直接積分解法を用いて、ヒルベルト空間上の群作用を分析する。
• カジミールの性質(T)とアメニタリティを用いて、格子およびその正規部分群を特徴付ける。
• スカラーの制限とp進完備化を用いて、古典的結果（例：ラツナーの定理）をS-算術群に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純リー群内の不可約格子が算術的であるための条件は何か？
• RQ2 実ランクとQ-ランクは、格子の幾何学的・力学的挙動をどのように決定するか？
• RQ3 実ランク ≥2 とランク1の格子における正規部分群の構造はそれぞれいかなるものか？
• RQ4 単位的フローおよびその軌道閉包は、算術的格子の構造をどの程度決定づけるか？
• RQ5 S-算術格子は古典的算術群をどのように一般化するのか？また、その主要な不変量は何か？

主な発見

• SL(n, Z) は、Siegel集合および単位的軌道の非発散性を用いて、SL(n, R) に格子であることが証明された。
• マーガリスの算術性定理により、R-ランク ≥2 の半単純群内の任意の不可約格子は算術的である。
• Q-ランク ≥2 の格子に対しては、正規部分群は有限または商が有限である、というマーガリスの正規部分群定理による。
• カジミールの性質(T)を有する群の格子は、それ自身も性質(T)を有し、そのアーベル化は有限である。
• 単位的フローに関するラツナーの定理はS-算術群へ拡張され、軌道閉包が代数的であることが保証される。
• S-算術格子は、実群とp進群の積に格子であり、その基本領域はコンパクト集合とSiegel集合の積として構成される。