[論文レビュー] Introduction to Classical Gauge Field Theory and to Batalin-Vilkovisky Quantization

Glenn Barnich, Fabrizio Del Monte|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ゲージ理論の背後にある代数的・幾何的構造に焦点を当て、古典的ゲージ場理論およびバタリン＝ヴィルコビッチ（BV）形式主義について包括的な導入を提供する。ジェットバンドル形式主義を用いて局所的汎関数、オイラー＝ラグランジュ微分、水平複体およびコシュール＝テート複体を定式化し、それらを応用してBRST微分作用素とマスター方程式を導出する。主たる貢献は、異常、一貫した摂動、およびゲージ理論における正則化効果を分類するための、摂動に依存する反場を含むBRSTコホモロジーを体系的に計算するフレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

Lectures held at the 22nd "Saalburg" Summer School (2016)

研究の動機と目的

• ジェットバンドルと水平複体を用いて、古典的ゲージ場理論の厳密な代数的枠組みを確立すること。
• 非可約ゲージ理論におけるノネール恒等式と特徴的コホモロジーを扱うために、コシュール＝テート複体を構築すること。
• 任意のゲージ対称性を持つゲージ理論の正準化のための体系的手段として、バタリン＝ヴィルコビッチ形式主義を導入すること。
• 局所的汎関数の空間におけるBRSTコホモロジーを用いて、異常および正則化の構造を分析すること。
• 異常、一貫した摂動、およびグローバル対称性といった物理的観測可能性を、コホモロジー的手法を用いて計算する基盤を提供すること。

提案手法

• 局所関数が有限次の場およびその微分に依存するように、ジェットバンドルを用いて場理論を幾何学的に形式化する。
• 全微分作用素 $\frac{d}{dt}$ または $\frac{d}{dx^\mu}$ を用いて全微分およびオイラー＝ラグランジュ微分を定義し、ジェット空間間の写像を記述する。
• 変分法と保存則を記述するための水平複体を導入し、形式に作用する水平微分作用素 $d_H$ を定義する。
• ノネール恒等式を解消し、特徴的コホモロジーを計算するためのコシュール＝テート複体を構築し、ゲージ不変な観測量を捉える。
• 反括弧 $ (\cdot, \cdot) $、マスター作用 $ S_\Psi $、および $ (S_\Psi, S_\Psi) = 0 $ を満たすBRST微分作用素 $ s $ を用いて、バタリン＝ヴィルコビッチ形式主義を適用する。
• 異常を方程式 $ \frac{1}{2}(\Gamma, \Gamma) = \hbar \mathcal{A} \circ \Gamma $ を用いて分析する。ここで $ \mathcal{A} $ はゴースト数1の局所的汎関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジェットバンドルと水平複体を用いて、どのようにして古典的場理論を体系的に定式化できるか？
• RQ2 コシュール＝テート複体は、ノネール恒等式の解消と特徴的コホモロジーの計算において果たす役割は何か？
• RQ3 バタリン＝ヴィルコビッチ形式主義は、マスター方程式を通じてどのようにゲージ不変性を保証するのか？
• RQ4 BV形式主義において異常はどのように生じるのか。また、BRSTコホモロジーを用いてどのように分類されるか？
• RQ5 局所的汎関数における反場依存BRSTコホモロジーを用いて、正則化および一貫した摂動をどのように特徴づけられるか？

主な発見

• ゴースト数1における反場依存BRSTコホモロジーは異常を分類し、$ H^1(s_\Psi) \simeq H^1(s) $ によりゲージ不変かつ計算可能な特徴づけが得られる。
• 正則化後にマスター方程式が破られる場合に異常は生じ、$ \frac{1}{2}(\Gamma, \Gamma) = \hbar \mathcal{A} \circ \Gamma $ と表され、ここで $ \mathcal{A} $ は局所的汎関数である。
• ヤン＝ミルズ理論におけるアドラー＝バーディン異常は、降下方程式の鎖におけるコホモロジー類として実現され、降下鎖における $ \omega^{1,4} $ に対応する。
• 半単純ヤン＝ミルズ理論およびアインシュタイン重力理論において、ゴースト数0における反場依存BRSTコホモロジーは、古典的ゲージ不変作用素によって尽きる。これは、有効場理論的意味での正則化可能性を示唆する。
• すべてのキャンセリング不能な発散は、すべてのオンシェルゲージ不変観測量を最初から含めることで、結合定数の再定義によって吸収可能である。
• 一般化されたヴェス＝ツミノ一貫性条件 $ (\Gamma, \mathcal{A} \circ \Gamma) = 0 $ は異常の一貫性を保証し、最低次の条件 $ (S_\Psi, \mathcal{A}) = 0 $ が成り立つ。