[論文レビュー] Introduction to Division Algebras, Sphere Algebras and Twistors

Martin Cederwall|ArXiv.org|Oct 19, 1993

Computational Physics and Python Applications参考文献 2被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、twistor変換とHopf写像を通じて、D=3,4,6,10における時空構造と除法代数（R, C, H, O）を統一的な枠組みで結びつける。光線的ベクトルがスピンルビネアリティから生じるのは、ノルム付き除法代数の存在があるため、これらの次元に限られる。主な結果として、例外的次元D=10とD=6がオクタニオンから自然に導かれることが示され、twistor的定式化を通じて、共形対称性、Kac-Moody代数、および超弦理論に影響を与える。

ABSTRACT

A very basic introduction is given to the rôles of division algebras and the related sphere algebras concerning the structure of space-time in the dimensionalities $D\is 3,4,6$ and $10$, with special emphasis on twistors transformations for light-likeness conditions and Hopf maps, together with some outlook for particle and string theory.

研究の動機と目的

• ノルム付き除法代数の存在と、twistor変換と光線的条件が定義可能な次元D=3,4,6,10との関係を確立すること。
• 除法代数を用いて、4次元のスピンルビネアリティ-ベクトル対応SL(2;C) ≈ SO(1,3)を、Kν = R, C, H, Oに対しSL(2;Kν) ≈ SO(1,ν+1)に高次元に一般化すること。
• twistor定式化における質量ゼロの粒子およびストリングのゲージ対称性としての球面代数S^{ν-1}の役割を調査すること。
• D=10における共形場理論において、Kac-Moody代数Ŝ^{ν-1}の出現を調査し、その場依存構造関数の性質を明らかにすること。
• 特にJ₃(O)である例外的ジョルダン代数に対して、twistor的構造の一般化が可能かどうかを検討し、E₆およびE₇対称性群におけるその可能性を検討すること。

提案手法

• ミンコフスキー空間における光線的ベクトルをP^μ = ½λγ^μλのスピンルビネアリティ構成により表現し、4次元のSL(2;C)同型をKν = R, C, H, Oに対してSL(2;Kν) ≈ SO(1,ν+1)に一般化する。
• P² = P†Pの条件を適用して、光線的方向の空間であるCelestial sphere S^νを定義し、KνP¹（射影空間）に同定する。
• |Ω|=1を満たす変換λ → λΩにおけるλλ†の不変性を分析し、ν=1,2,4,8に対してS^{ν-1}がゲージ群として得られる。
• ジョルダン代数の構造群であるKν上のエルミート行列の集合に対して、Sp(4;Kν) ≈ SO(2,ν+2)を用いて共形対称性を構成する。
• P = ∂Xの制約を課すことにより、弦理論における制約を導出し、λおよびωに対して第一種および第二種の制約が得られ、後者は共変量子化を妨げる。
• 弦に対してP = λ₁λ₁† + λ₂λ₂†を用いた代替twistor定式化を提案し、左移動および右移動モードを混合させ、第一種制約とD=10におけるKac-Moody代数Ŝ⁷を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜtwistor変換と光線的スピンルビネアリティはD=3,4,6,10でのみ存在するのか？
• RQ2 除法代数（R, C, H, O）は、twistorおよび共形場理論における時空の次元をどのように制限するのか？
• RQ3 球面代数S^{ν-1}は、twistor定式化における質量ゼロの粒子およびストリングのゲージ対称性として果たす役割は何か？
• RQ4 D=10におけるKac-Moody代数Ŝ⁷は一貫して量子化可能か？その場依存構造関数は異常をどのように影響するか？
• RQ5 例外的ジョルダン代数J₃(O)に対して、twistor的構造の妥当な一般化が可能か？また、D=10における一般化された超共形代数を支える可能性はあるか？

主な発見

• ノルム付き除法代数はR（ν=1）、C（ν=2）、H（ν=4）、O（ν=8）に限られ、これがD=ν+2=3,4,6,10におけるtwistor構造の存在を一意に説明する。
• 条件(λ₁γ_μλ₂)γ^μλ₃ + 循環項 = 0は、これらの除法代数の代数的性質（交差代数性）のおかげで、D=3,4,6,10でのみ成立する。
• D=ν+2における光線的方向のCelestial sphereはS^νであり、KνP¹と微分同相であり、λλ†の不変性のゲージ群はν=1,2,4,8に対してS^{ν-1}である。
• D=10では、λ変数のS⁷対称性からKac-Moody代数Ŝ⁷が生じ、場依存構造関数を有し、電荷再定義により中心拡大と異常キャンセレーションが可能である。
• 例外的ジョルダン代数J₃(O)の構造群はE₆、共形群はE₇であり、高エネルギー物理学における例外的対称性との深い関係を示唆する。
• D=10におけるストリングの新しいtwistor定式化は、2つのスピンルビネアリティの和P = λ₁λ₁† + λ₂λ₂†を用い、すべての制約を第一種にすることで、第二種制約の問題を回避する。ただし、Oの場合には固定Pに対するλ配置の多様体は非平行化可能である（SO(9)/G₂）。