[論文レビュー] Introduction to fractional Orlicz-Sobolev spaces

Elhoussine Azroul, Abdelmoujib Benkirane+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、従来の定式化における制限を克服するため、分数階オルリッチ＝ソボレフ空間の新しい定義を導入し、オルリッチ空間への連続的およびコンパクトな埋め込みを証明する。主な貢献は、ミントン＝ブラウデアの定理を用いて、分数階M-ラプラシアン作用素を含む非局所問題における弱解の存在および一意性を確立することにある。

ABSTRACT

In this paper, we define the fractional Orlicz-Sobolev spaces, and we prove some important results of these spaces. The main result is to show the continuous and compact embedding for these spaces. As an application, we prove the existence and uniqueness of a solution for a non local problem involving the fractional M-Laplacian operator.

研究の動機と目的

• 標準的定式化における特異測度の影響により、分数階オルリッチ＝ソボレフ空間を定義する際の数学的課題に対処すること。
• より良好な解析的性質とオルリッチ空間理論との整合性を保証するため、分数階オルリッチ＝ソボレフ空間の見直し定義を提案すること。
• 新しい分数階オルリッチ＝ソボレフ空間がオルリッチ空間へ連続的およびコンパクトに埋め込まれることを確立すること。
• 埋め込み結果を応用し、分数階M-ラプラシアン作用素を含む非局所問題における弱解の存在および一意性を証明すること。

提案手法

• 特異測度 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ の扱いを改善するため、逆N関数 $ M^{-1}(|x-y|^N) $ を用いた正規化を用いて、分数階オルリッチ＝ソボレフ空間の新しい定義を導入する。
• 関数 $ M(t) = t^p $ の場合に、新しい空間 $ W^sL_M(\Omega) $ が古典的分数階ソボレフ空間と一致することを証明し、既知のケースと整合することを保証する。
• ドナルドソンとトゥードィンガーの手法を採用し、$ \Delta_2 $-正則性条件の下で、$ W^sL_M(\Omega) $ がオルリッチ空間へ連続的およびコンパクトに埋め込まれることを確立する。
• N関数 $ m $ の微分を含む非局所的・非線形的・非一様な積分作用素を用いて、分数階M-ラプラシアン作用素 $ (-\Delta)^s_m $ を定義する。
• 作用素の有界性、連続性、厳密単調性、強制性を確認することで、ミントン＝ブラウデアの定理を用いて、弱解の存在および一意性を証明する。
• ほとんど everywhere $ \Omega $ 外で 0 となる関数の閉部分空間 $ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ を、ノルム $ [\cdot]_{s,M} $ を備えて用いることで、弱収縮性と分離可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の定式化における特異測度 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ の問題を克服するため、分数階オルリッチ＝ソボレフ空間をどのように再定義できるか？
• RQ2 $ \Delta_2 $-正則性の下で、新しい分数階オルリッチ＝ソボレフ空間がオルリッチ空間へ連続的およびコンパクトに埋め込まれる性質は何か？
• RQ3 新しい枠組みを用いて、分数階M-ラプラシアンを含む非局所PDEの弱解の存在および一意性を証明できるか？
• RQ4 関数 $ M(t) = t^p $ の場合に、新しい分数階オルリッチ＝ソボレフ空間の定義は、古典的分数階ソボレフ空間とどのように関係するか？

主な発見

• 新しい分数階オルリッチ＝ソボレフ空間の定義により、関連するノルムが適切に定義され、対角近傍における特異測度の問題を回避する。
• $ M $ が $ \Delta_2 $-正則性条件を満たす場合、空間 $ W^sL_M(\Omega) $ はオルリッチ空間 $ L_M(\Omega) $ に連続的およびコンパクトに埋め込まれる。
• 任意の $ u \in L_M(\Omega) $ に対して、極限 $ \lim_{s \to 1} (1-s) \int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} M\left( \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^s} \right) \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ が存在し、$ \int_{\mathbb{R}^N} \widetilde{M}(u(x)) dx $ に等しい。これは分数階と古典的極限を結ぶ。
• 分数階M-ラプラシアン作用素 $ (-\Delta)^s_m $ は、$ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 上で有界、連続、厳密単調、強制的である。
• 任意の $ f \in (\widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega))^* $ に対して、$ \Omega $ において $ (-\Delta)^s_m u = f $、$ \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ において $ u = 0 $ という問題は、$ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 内に一意な弱解をもつ。
• Poincaré型不等式と $ M $ の凸性を用いて作用素の強制性を確立し、$ \|u\|_{s,M} $ が十分に大きい場合に $ \frac{\langle (-\Delta)^s_m u, u \rangle}{\|u\|_{s,M}} \geq C \|u\|_{s,M}^{p_0 - 1} $ が成り立つ。