[論文レビュー] Introduction to Homotopy Type Theory

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2022

History and Theory of Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー型理論（HoTT）について包括的で教育的な導入を提供し、マーチン・ローフの依存型理論を体系的に展開し、ユニバーシティスティックな基礎へと拡張している。型理論、ホモトピー論、および高階圏論の間の関係を確立し、同一性型が経路をモデル化すること、およびユニバーシティスティックな公理が同型な型を同一視することにより、論理、型理論、位相幾何学を構成的数学の基礎として統合している。

ABSTRACT

This is an introductory textbook to univalent mathematics and homotopy type theory, a mathematical foundation that takes advantage of the structural nature of mathematical definitions and constructions. It is common in mathematical practice to consider equivalent objects to be the same, for example, to identify isomorphic groups. In set theory it is not possible to make this common practice formal. For example, there are as many distinct trivial groups in set theory as there are distinct singleton sets. Type theory, on the other hand, takes a more structural approach to the foundations of mathematics that accommodates the univalence axiom. This, however, requires us to rethink what it means for two objects to be equal. This textbook introduces the reader to Martin-Löf's dependent type theory, to the central concepts of univalent mathematics, and shows the reader how to do mathematics from a univalent point of view. Over 200 exercises are included to train the reader in type theoretic reasoning. The book is entirely self-contained, and in particular no prior familiarity with type theory or homotopy theory is assumed.

研究の動機と目的

• 論理、数学、およびコンピュータサイエンスの研究者および学生向けに、自己完結的でアクセス可能なホモトピー型理論の導入を提供すること。
• 構成的数学の基礎として用いられるマーチン・ローフの依存型理論を体系的に発展させること。
• ユニバーシティスティックな公理を導入・形式化し、同型な型を同一視できることを示し、ホモトピー論の合成的アプローチを可能にすること。
• 自然数、整数、有限型、群といった基本的な数学的構造が、型理論の枠組み内でいかに構成され、どのように扱えるかを示すこと。
• ユニバーシティスティックな基礎の論理的および圏論的基盤を確立すること。これには、命題的切断、画像因子分解、および集合の商が含まれる。

提案手法

• 明示的な推論規則、導出、および判断を用いて、型の構成を形式化するため、マーチン・ローフの依存型理論を基礎的体系として用いる。
• 同一性型を経路型として導入し、帰納的定義と輸送操作を用いてホモトピー的構造をモデル化する。
• カリー＝ハワード同型を適用し、論理的命題を型として、証拠を項として解釈することで、型理論内での論理的推論を可能にする。
• 高階の帰納的型（HITs）を用いて、円、整数、命題的切断といった数学的対象を、指定された普遍的性質を持つ形で構成する。
• 同等な型を同一視する主要な原理として、ユニバーシティスティックな公理を発展させる。これにより関数の拡張性と命題的拡張性が得られる。
• 可縮型とシングルトン帰納法を用いて、一意性と同値性を特徴づけ、高階の切断レベルおよび集合の商の基礎を形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーチン・ローフの依存型理論は、どのように体系的に展開され、構成的数学の基礎として機能するのか？
• RQ2 型理論における同一性型は、どのように経路とホモトピーをモデル化し、どのような代数的構造を形成するのか？
• RQ3 ユニバーシティスティックな公理は、同型な型を同一視し、型理論とホモトピー論を統合するために果たす役割は何か？
• RQ4 高階の帰納的型は、円、整数、有限型といった数学的対象を合成的（synthetic）にどのように構成できるのか？
• RQ5 命題的切断、画像因子分解、および集合の商の構成との間に、ユニバーシティスティック型理論においてどのような関係があるのか？

主な発見

• 型 X における同一性型は、X の経路空間と同型であり、型に群準同型的構造（groupoid-like structure）をもたらす。ここで、同一視は経路として解釈される。
• ユニバーシティスティックな公理は、関数の拡張性と命題的拡張性を示し、同型な型が型理論的意味で等しいことを示している。
• 自然数は再帰と帰納法を含む普遍的性質によって特徴づけられ、加法と整列順序は体系内で証明可能である。
• 命題的切断は、任意の型を命題に変換する方法を提供し、論理的論理和と存在記号の量化子の構成を可能にする。
• 集合の商と画像因子分解は、高階の帰納的型を用いて構成され、写像の画像は、経路を介して到達可能なすべての要素の型として特徴づけられる。
• 整数は ℕ × ℕ における同値関係による商として構成され、加法に関して群であり、等値判定が可能なことが示されている。