[論文レビュー] Introduction to Hubbard Model and Exact Diagonalization

S. A. Jafari|ArXiv.org|Jul 30, 2008

Magnetism in coordination complexes参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、強い電子相関系を研究するための数値的に正確な手法としてハーバード模型と正確対角化（ED）を導入する。EDを用いることで、対称性に適合した基底におけるハミルトニアンの対角化により、小さな集団における正確な解が得られ、スピンサブゼロ状態や大U極限におけるt-J模型の出現といった重要な物理現象が明らかになる。特にスピン交換相互作用J ≈ 4t²/Uが得られる。

ABSTRACT

Hubbard model is an important model in theory of strongly correlated electron systems. In this contribution we introduce this model along with numerically exact method of diagonalization of the model.

研究の動機と目的

• ハーバード模型とその強い電子相関系物理学における役割について、教育的入門を提供すること。
• 小スケールの集団におけるハーバード模型を解くための数値的に正確な手法として正確対角化（ED）を提示すること。
• ハミルトニアン行列表現を簡略化する対称性に適合した基底の構築を示すこと。
• EDの結果を通じて、大U極限におけるスピン物理学およびt-J模型の出現を図示すること。
• 教育的目的で使用可能な簡単なFortranプログラムを通じて、EDの実装を読者にガイドすること。

提案手法

• 格子上の生成・消滅演算子を用いて、 hopping 項（−t）と局所的反発（U）を含む第二量子化形式によるハーバードハミルトニアンの定式化。
• 非相互作用部分（H₀）を対角化するためのフーリエ変換を適用し、余弦バンド分散 εₖ = −2t cos k を得る。
• 群表現理論を用いて、射影演算子 Γₚ(R)*Rϕ を介して、空間反対称性およびスピン量子数が明確な対称性に適合した基底状態を構築する。
• 対称性に適合した基底における全ハミルトニアンの表現を用い、スピンz成分S_zおよび空間対称性の各セクターに分離されたブロック対角形にすること。
• 各ブロックにおける固有値問題を解き、特にS_z = 0セクターにおいて正確なエネルギー準位および波動関数を取得すること。
• エネルギー準位の分裂を分析することで、大U極限における有効t-J模型を導出する。その結果、J ≈ 4t²/U が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小スケールの集団におけるハーバード模型を、数値的対角化を用いてどのように正確に解くことができるか？
• RQ2 対称性に適合した基底は、ハミルトニアン行列の簡略化および計算効率の向上にどのような役割を果たすか？
• RQ3 2サイトのハーバード模型における基底状態の性質は何か？また、Uおよびtにどのように依存するか？
• RQ4 ハーバード模型の大U極限はどのようにt-J模型に写像され、有効スピン交換相互作用Jは何か？
• RQ5 2サイトモデルにおけるスピンサブゼロ状態と三重項状態のエネルギー分裂は何か？また、tおよびUにどのように依存するか？

主な発見

• 2サイトのハーバード模型の基底状態はスピンサブゼロ状態であり、エネルギーは Eₛ⁻ = U/2 − √(U²/4 + 4t²) で、三重項状態のエネルギー Eₜ = 0 よりも低くなる。
• 大U極限において、スピンサブゼロ状態は三重項状態に対してエネルギー分裂 −J = −4t²/U によって安定化され、反強磁性的相関が示唆される。
• 対称性に適合した基底により、ハミルトニアンはブロック対角形に簡略化され、S_z = 0 セクターにはスピンサブゼロ状態の2×2ブロックと三重項状態の2×2ブロックが含まれ、正確対角化が可能になる。
• 三重項状態（S_z = 0）はゼロエネルギーにあるのに対し、二重占有状態 |ψ₅⟩ はエネルギーUを有するため、大U領域では電荷フラクチュエーションが抑制されることを確認する。
• 大U極限におけるスピンサブゼロ状態の波動関数は、二重占有が存在しない状態 |ψ₃⟩ = (|ϕ₃⟩ + |ϕ₄⟩)/√2 に支配的であり、電荷フラクチュエーションの抑制を確認する。
• 有効t-J模型は大U極限に於いて出現し、低エネルギー物理はJ ≈ 4t²/U で与えられるスピン交換に支配され、二重占有が存在しない状態に制限されたヒルバート空間に制限される。