[論文レビュー] Introduction to linear logic and ludics, part II

Pierre-Louis Curien|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2005

Logic, programming, and type systems参考文献 49被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、乗法的線形論理（MLL）における証明ネットとルーディックスを導入する。証明ネットは、文法的順序から抽象化された、グラフベースの証明表現として提示される。証明ネットとシーント計算証明の間には双対的対応関係が確立され、デザインと行動を通じてインタラクティブ計算をモデル化するフレームワークとしてルーディックスが開発される。主な結果として、完全性と結合性に関するものがある。

ABSTRACT

This paper is the second part of an introduction to linear logic and ludics, both due to Girard. It is devoted to proof nets, in the limited, yet central, framework of multiplicative linear logic and to ludics, which has been recently developped in an aim of further unveiling the fundamental interactive nature of computation and logic. We hope to offer a few computer science insights into this new theory.

研究の動機と目的

• 乗法的線形論理（MLL）における証明ネットの基礎的導入を提供し、シーント計算の順序から抽象化する。
• デザインと行動を通じてインタラクティブ計算と論理をモデル化するフレームワークとしてルーディックスを形式化する。
• カットなしのMLLにおいて、証明ネットとシーント計算証明との間の双対的対応関係を確立する。
• 証明ネットとルーディックスの相互作用を、特に順序付け可能性と完全性の観点から探求する。
• 行動の代数的構造と、テンソルおよび加法的演算子による合成を調査する。

提案手法

• MLLにおける証明を証明構造として表現する：部分論理式の木の森で、葉が双対な論理式のペアに分割されているもの。
• 証明ネットを、公理、テンソル（⊗）、パラレル（⊸）接続子の推論規則を用いて順序付け可能な証明構造として定義する。
• {1,2} 上の出現語を用いて部分論理式を追跡し、部分論理式の木 A^U を部分論理式のインデックスによる定義で定める。
• 正のデザインと負のデザインを用いてルーディックスをモデル化する。ここで行動は符号（+、−）、アドレス（ξ）、およびインデックス集合（I）でラベル付けされる。
• 行動を双対性と相互作用について閉じたデザインの集合として定義し、直交性と交差演算を定義する。
• 局所解除関数を導入して、アドレスの再インデックス化によりデザインを変換し、不交差性と結合性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 証明構造が有効なMLL証明に順序付け可能であるのはいつか？
• RQ2 ルーディックスはどのようにデザインと行動を通じてインタラクティブ計算をモデル化できるか？
• RQ3 2つの行動が不交差であるための条件は何か？また、これは直交性とどのように関係するか？
• RQ4 行動におけるテンソル演算と加法的演算子の相互作用は何か？また、⊗は⊕に対して分配的か？
• RQ5 パラメトリック証明を含む極性を付与されたMALLのバージョンにおいて、完全性の結果を達成できるか？

主な発見

• カットなしのMLLにおいて、証明ネットとシーント計算証明との間には双対的対応関係が存在し、順序付けが健全かつ完全であることが保証される。
• 証明ネットは、ネットグラフにおける無閉路性を保証する「スイッチング条件」を満たす証明構造として特徴づけられる。
• 2つの正の行動が不交差であるための必要十分条件は、それらの集合の共通部分が{⊥}であることである。2つの負の行動が不交差であるための必要十分条件は、それらの記録射影が互いに不交差であることである。
• テンソル演算⊗は行動において⊕に対して分配的であり、GとHが正で不交差であるとき、|G ⊕ H| = |G| ∪ |H| が成り立つ。
• 任意の2つの行動G₁とG₂が同じ基底上にある場合、θ(G₁)とθ(G₂)が不交差となるような局所解除関数θが存在する。
• 極性を付与されたMALLのバージョンにおいて、パラメトリック証明を含む完全性の結果が達成可能であり、これは行動に部分等価関係を拡張することで実現される。