[論文レビュー] Introduction to Representations of Real Semisimple Lie Groups

Matvei Libine|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、実半単純リー群の表現論について、中心的な例として$SU(1,1)$を用いて、わかりやすい導入を提供する。ハリシュ・チャンドラモジュールの理論を展開し、正則離散的系列および主系列を用いてユニタリ表現を構成し、分布的極限とトレース公式を用いて特性を計算することで、$SU(1,1)$に対して特性が明示的な公式を持つ実解析的分布であることが確立される。

ABSTRACT

These are lecture notes for a one semester introductory course I gave at Indiana University. The goal was to make this exposition as clear and elementary as possible. A particular emphasis is given on examples involving SU(1,1). These notes are in part based on lectures given by my graduate advisor Wilfried Schmid at Harvard University and PQR2003 Euroschool in Brussels as well as other sources.

研究の動機と目的

• 実半単純リー群の表現論を、特に$SU(1,1)$に焦点を当てて、明確で初歩的な導入を提供すること。
• ハリシュ・チャンドラモジュールの理論を、不可約表現の構成と分類のための道具として発展させること。
• ユニタリ表現、特に離散的系列および主系列の特性を、分布的極限とトレース公式を用いて$SU(1,1)$で計算すること。
• 不可約ユニタリ表現の特性が、明示的な表現式を持つ実解析的分布であることを確立し、古典的特性公式を一般化すること。
• $SU(1,1)$の表現論を、$K$-型、$KAK$分解、ハリシュ・チャンドラモジュールのグローバライゼーションといったより広範な構造と結びつけること。

提案手法

• $SU(1,1)$を、実半単純リー群表現の一般的原則を説明する主たる例として用いる。
• $C^\infty$ベクトルと$K_{\mathbb{R}}$-有限ベクトルを用いて表現を構成し、ハリシュ・チャンドラモジュールの定義に至る。
• イワサワ分解および$KAK$分解を適用して、行列係数を分析し、正則半単純元での特性を計算する。
• 幾何級数と分布的極限を用いて特性を計算する：例えば、$\lim_{n\to\infty} e^{i(2l+1-2n)\theta} = 0$は分布の意味で成り立つ。
• トレース公式を用いて特性公式を導出する：有限次元表現に対して$\operatorname{Tr}\pi_d(a_t) = \frac{e^{(d+1)t} - e^{-(d+1)t}}{e^t - e^{-t}}$。
• ハリシュ・チャンドラの正則性定理を用いて、特性が特異点を伴う実解析的分布であることを示す。明示的公式が存在しない場合でも成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実半単純リー群の表現論を、非コンパクト群を含めて、どのようにわかりやすく初歩的なものにできるか？
• RQ2 $C^\infty$ベクトルが解析的でない場合に、ハリシュ・チャンドラモジュールが不可約表現の分類に果たす役割は何か？
• RQ3 $SU(1,1)$のユニタリ表現、特に離散的系列および主系列の特性は、正則半単純元上でどのように振る舞うか？
• RQ4 主系列表現の特性は、離散的系列および有限次元表現の特性の和として表現できるか？
• RQ5 行列係数の分布的極限の振る舞いは何か？ そして、それが特性の計算を可能にする仕組みは？

主な発見

• 有限次元表現$\pi_d$の$SU(1,1)$における特性は、$\operatorname{Tr}\pi_d(k_\theta) = \frac{e^{i(d+1)\theta} - e^{-i(d+1)\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}$で与えられ、これは幾何級数の和である。
• 同じ表現について、$\operatorname{Tr}\pi_d(a_t) = \frac{e^{(d+1)t} - e^{-(d+1)t}}{e^t - e^{-t}}$であり、$a_t = \exp(tH)$である。これはスプリットトーラス上で解析的であることを示している。
• 正則離散的系列$\pi_\chi$ on $\mathcal{D}_l^-$の特性は、$\Theta^{-}_{\pi_\chi}(k_\theta) = \frac{e^{i(2l+1)\theta}}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}$を満たし、分布的極限を用いて導出される。
• $t > 0$に対して、$\Theta^{-}_{\pi_\chi}(a_t) = \frac{e^{(2l+1)t}}{|e^t - e^{-t}|}$であり、同様に反正則系列に対しても成り立つ。$\Theta^{+}_{\pi_\chi}(-a_t) = (-1)^{2l}\frac{e^{(2l+1)t}}{|e^t - e^{-t}|}$。
• 主系列の特性は$\Theta_{\pi_\chi}(a_t) = \frac{e^{(2l+1)t} + e^{-(2l+1)t}}{|e^t - e^{-t}|}$であり、$k_\theta$上で消える。これによりユニタリ性と分解性が確認される。
• $l = -1/2, \varepsilon = 1/2$のとき、主系列の特性は正則および反正則離散的系列の極限特性の和に等しくなる。これは、分解$\pi_\chi \simeq \mathcal{D}_{-1/2}^- \oplus \mathcal{D}_{-1/2}^+$との整合性を検証する。