[論文レビュー] Introduction to Stochastic Differential Equations (SDEs) for Finance

Andrew C. Papanicolaou|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、金融における確率的微分方程式（SDE）の包括的な紹介を提供しており、ブラック・ショールズフレームワークとレプリケーションおよび同等マルティンゲール測度を用いたリスクニュートラル価格設定に焦点を当てる。イトの微積分、フェインマン＝カックの定理、フーリエ変換法を用いてブラック・ショールズ・オプション価格公式を導出することで、完全市場におけるデリバティブ評価とヘッジの基礎を確立する。

ABSTRACT

These are course notes on the application of SDEs to options pricing. The author was partially supported by NSF grant DMS-0739195.

研究の動機と目的

• 金融市場における確率的微積分を用いたデリバティブ価格設定の理論的基盤を確立すること。
• 完全市場において、デリバティブ・ポジションを基礎資産と現金の動的ヘッジ戦略でレプリケートできる方法を示すこと。
• フェインマン＝カックの定理とリスクニュートラル測度を用いてブラック・ショールズ・オプション価格公式を導出すること。
• オプション価格設定におけるデルタヘッジ、ギャンマ、ボラティリティ・スプライス、インプライド・ボラティリティなどの主要概念を紹介すること。
• ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式を用いて、確率的ボラティリティおよび制御問題へのフレームワークの拡張を示すこと。

提案手法

• オプション価格設定における非アービトラージとレプリケーションの原則を説明するために、離散時間・二状態市場モデルを用いる。
• 連続時間における資産ダイナミクスをモデル化するためにイト微積分を適用し、イト積分およびイト過程におけるイトの補題を含む。
• 自己資金ポートフォリオがデリバティブ・クレームをレプリケートできる条件を要求することで、ブラック・ショールズ偏微分方程式（PDE）を導出する。
• フェインマン＝カックの公式を用いて、PDEの解を同等マルティンゲール測度下でのリスクニュートラル期待値と結びつける。
• フーリエ変換技術を用いて熱方程式およびブラック・ショールズ方程式を解き、解析的および準解析的価格設定を可能にする。
• ギルサンフの定理を適用して確率測度を変更し、資産価格のリスクニュートラルダイナミクスを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全金融市場において、アービトラージを回避してデリバティブ・クレームをどのように価格設定できるか？
• RQ2 デリバティブが基礎資産と現金の動的ポートフォリオによってレプリケート可能であるための条件は何か？
• RQ3 リスクニュートラル測度が、確率測度を変更した期待値を用いたデリバティブ価格設定をどのように簡素化するか？
• RQ4 ヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズPDEの解析的解は何か？ その導出方法は？
• RQ5 ギャングル（デルタ、ガンマ、ベガなど）は、オプション価格が基礎資産変数にどのように感応するかをどのように定量的に表すか？

主な発見

• 離散的二状態モデルにおけるコール・オプション価格は、$ \alpha = 1/2 $ 株式と $ \beta = -1/2 $ の銀行口座を用いたレプリケーションにより、$ C_0 = 0.5 $ として一意に決定される。
• ブラック・ショールズPDEは、$ \left(\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)\frac{\partial}{\partial x} - r\right)V = 0 $ として導出され、終値条件 $ V(T,x) = \psi(x) $ を満たす。
• ブラック・ショールズPDEの解は、リスクニュートラル期待値として与えられる：$ V(t,x) = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^Q[\psi(X_T) \mid X_t = x] $、ここで $ X_t = \log(S_t) $ である。
• フーリエ逆変換を用いてブラック・ショールズ・コール・オプション公式が回復され、$ C(S,t) = S N(d_1) - K e^{-r(T-t)} N(d_2) $ が得られる。ここで $ N(\cdot) $ は標準正規累積分布関数である。
• ヘストンの確率的ボラティリティモデルが、特性関数を用いた明示的公式とともに導入される。
• 論文は、ブラック・ショールズのギャングル（デルタ、ガンマ、ベガなど）が、オプション価格の基礎変数に関する偏微分から導出されることを確立している。