[論文レビュー] Introduction to the Kalman Filter and Tuning its Statistics for Near Optimal Estimates and Cramer Rao Bound

Shyam Mohan M, Naren Naik+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2015

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 51被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、一般化尤度コスト関数を用いて、逐次的にプロセスノイズおよび測定ノイズの共分散を調整することで、近似的に最適な推定を達成する、参照再帰的チューニング手法を提案する。複数回のフィルタープassesを通じて事前、事後、およびスムージングされた状態を活用することで、統計的平衡に収束し、Cramér-Raoバウンズと一致させ、シミュレーションおよび実世界の航空宇宙応用分野において、内部的に整合的で高精度の状態推定を実現する。

ABSTRACT

This report provides a brief historical evolution of the concepts in the Kalman filtering theory since ancient times to the present. A brief description of the filter equations its aesthetics, beauty, truth, fascinating perspectives and competence are described. For a Kalman filter design to provide optimal estimates tuning of its statistics namely initial state and covariance, unknown parameters, and state and measurement noise covariances is important. The earlier tuning approaches are reviewed. The present approach is a reference recursive recipe based on multiple filter passes through the data without any optimization to reach a `statistical equilibrium' solution. It utilizes the a priori, a posteriori, and smoothed states, their corresponding predicted measurements and the actual measurements help to balance the measurement equation and similarly the state equation to help form a generalized likelihood cost function. The filter covariance at the end of each pass is heuristically scaled up by the number of data points is further trimmed to statistically match the exact estimates and Cramer Rao Bounds (CRBs) available with no process noise provided the initial covariance for subsequent passes. During simulation studies with process noise the matching of the input and estimated noise sequence over time and in real data the generalized cost functions helped to obtain confidence in the results. Simulation studies of a constant signal, a ramp, a spring, mass, damper system with a weak non linear spring constant, longitudinal and lateral motion of an airplane was followed by similar but more involved real airplane data was carried out in MATLAB. In all cases the present approach was shown to provide internally consistent and best possible estimates and their CRBs.

研究の動機と目的

• 実用的応用におけるヒューリスティック的で体系的でないカルマンフィルタチューニングという長年の課題に取り組むこと。
• 最適化に依存せずに、繰り返し可能なデータ駆動型手順を確立し、プロセスおよび測定ノイズの共分散を推定すること。
• 理論的Cramér-Raoバウンズと一致させることで、フィルタ推定の内部整合性を保証すること。
• 非線形および実飛行データを含む多様なシステムに適用可能な、強力で汎用的なチューニングフレームワークを提供すること。
• シミュレーションおよび実飛行データによる検証を通じて、収束性と統計的信頼性を示すこと。

提案手法

• 標準カルマンフィルタ式を用いて、データを複数回繰り返し処理することで、逐次的に推定を精緻化する。
• イノベーション系列、予測測定値、実際の測定値に基づく一般化尤度コスト関数を用いて、統計的整合性を評価する。
• 各パスの終了時に、データポイント数に応じてフィルタ共分散をヒューリスティックにスケーリングし、統計的平衡への収束を加速する。
• プロセスノイズが存在しない場合に、正確な推定値およびCramér-Raoバウンズに一致させるために、スケーリングされた共分散をトリミングする。
• 事前、事後、およびスムージングされた状態推定値を用いて、反復処理における測定方程式と状態方程式のバランスを取る。
• プロセスノイズが存在する状況でのRおよびQの推定に期待-最大化（EM）法を適用し、耐性性を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、最適な性能を得るために、ヒューリスティック的ではなく体系的な方法でカルマンフィルタ統計をチューニングできるか？
• RQ2 再帰的で最適化に依存しない手法が、統計的平衡に到達し、理論的Cramér-Raoバウンズと一致させることができるか？
• RQ3 提案手法は、異なるフィルタ状態およびノイズ推定値間で内部整合性をどのように保証するか？
• RQ4 線形および弱非線形システム、さらには実飛行データを含む分野に、どの程度一般化可能か？
• RQ5 既知のノイズ統計が不明な状況において、一般化尤度コスト関数がチューニングを信頼性を持って導けるか？

主な発見

• 提案手法は、定常信号、ラムプ信号、ばね-質量-ダンパー系、および航空機の縦方向・横方向運動を含むすべてのテストケースで、内部的に整合的な推定を達成した。
• プロセスノイズを含むシミュレーションでは、入力と推定ノイズ系列が時間経過とともに一致し、耐性性が確認された。
• プロセスノイズが存在しない系では、最終的なフィルタ共分散が正確な推定値およびCramér-Raoバウンズと一致し、理論的最適性が検証された。
• 一般化尤度コスト関数の使用により、真値が不明な実データ応用においても、結果の信頼性が高まった。
• 合成データおよび実飛行データの両方で一貫した性能を示し、従来のヒューリスティックチューニング手法を上回った。
• 再帰的で複数パス構造により、反復的最適化やユーザー定義チューニングパrameterを必要とせず、統計的平衡に収束した。