[論文レビュー] Introductory Clifford Analysis

John Ryan|ArXiv.org|Mar 26, 2003

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素解析における正則関数論を、クリフォード代数を用いて高次元空間へ一般化することにより、クリフォード解析の基礎的側面を導入する。ディラック作用素 D を定義し、左および右モノジェニック関数を定義し、クリフォード＝コーシーの定理と積分公式を証明し、複素空間内のチューブ領域へのクリフォード正則関数の正則的拡張を示した。非可換代数的構造を用いて、古典的結果を高次元へ拡張した。

ABSTRACT

This paper is an elaboration of an introductory talk given by the author at a workshop on Clifford algebras at Tennessee Technical University, in May 2002. We give an introduction to the basic concepts of Clifford analysis, including links to harmonic analysis, Fourier analysis and conformally flat manifolds.

研究の動機と目的

• 複素解析における正則関数論を、クリフォード代数を用いて高次元空間へ一般化すること。
• 複素導関数の一般化としてディラック作用素 D を確立し、D² = -Δn を満たすこと。
• Df = 0 および gD = 0 の解として左および右モノジェニック関数を定義・特徴付けること。
• 古典的コーシー積分定理および公式をクリフォード代数の文脈へ拡張すること。
• クリフォード正則関数が C^n 内の複素チューブ領域へ正則的拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• ディラック作用素 D = Σ e_j ∂/∂x_j を定義し、D² = -Δn を満たすことを示す。
• f, g を Cl_n に値をとるとして、Df = 0 による左モノジェニック関数および gD = 0 による右モノジェニック関数を導入する。
• ストークスの定理を用いてクリフォード＝コーシーの定理を証明し、境界 S をもつ領域において、左／右モノジェニック関数 f, g に対して ∫_S g(x)n(x)f(x)dσ(x) = 0 が成り立つことを示す。
• クリフォード＝コーシー積分公式を確立する：f(y) = (1/ω_n) ∫_S G(x−y)n(x)f(x)dσ(x)、ここで G はコーシー核である。
• クリフォード代数を複素化し、Cl_n(C) を得る。コーシー核 G(x−y) を G^†(x−z) = (x−z)/((x−z)^2)^{n/2} に複素化し、z ∈ C^n に対して定義する。
• 左モノジェニック関数 f の正則的拡張 f^†(z) を積分公式 f^†(z) = (1/ω_n) ∫_S G^†(x−z)n(x)f(x)dσ(x) により構成する。この式は U^† ⊂ C^n 上で有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 変数複素関数論を、クリフォード代数を用いて高次元へどのように一般化できるか？
• RQ2 クリフォード代数の文脈において、コーシー積分定理および公式の類似物は何か？
• RQ3 Cl_n の非可換性を考慮すると、左および右モノジェニック関数は乗法に関してどのように振る舞うか？
• RQ4 クリフォード正則関数は複素領域へ正則的拡張可能か？ もし可能であれば、どの領域へか？
• RQ5 R^n,+ 上のクリフォード正則関数が拡張される複素領域の構造は何か？

主な発見

• ディラック作用素 D は D² = -Δn を満たし、複素導関数を R^n へ一般化する。
• 左モノジェニック関数 f は Df = 0 を満たし、実調和関数の勾配を含む。たとえば G(x) = x/||x||^n がその例である。
• クリフォード＝コーシーの定理は、境界 S をもつ領域において左／右モノジェニック関数 f, g に対して ∫_S g(x)n(x)f(x)dσ(x) = 0 が成り立つと述べる。
• クリフォード＝コーシー積分公式は f(y) = (1/ω_n) ∫_S G(x−y)n(x)f(x)dσ(x) で与えられ、ω_n は R^n 内の単位球面の表面積である。
• クリフォード正則関数 f ∈ H²(R^n,+) は、x_n > 0 かつ ||y'|| < x_n を満たすチューブ領域 C^+ ⊂ C^n へ正則的拡張可能である。
• 正則的拡張 f^†(z) は、複素化されたコーシー核 G^†(x−z) を含む積分公式により与えられ、U^† ⊂ C^n 上で有効である。