[論文レビュー] Intuitionistic fuzzy {\psi}-{\phi}-contractive mappings and fixed point theorems in non-Archimedean intuitionistic fuzzy metric spaces

Bivas Dinda, T. K. Samanta+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非アーベル的直感的ファジィ距離空間における直感的ファジィ ψ-φ-収縮写像を導入し、2つの不動点定理を確立する：M-完備空間における直感的ファジィバナッハ収縮定理と、一般の非アーベル的空間における直感的ファジィエレルシュタイン収縮定理である。主な貢献は、所属度と非所属度の両方における連続的かつ非増加的な ψ および非減少的な φ 関数を用いて、これらの一般化された収縮条件の下で不動点の存在と一意性を証明することにある。

ABSTRACT

In this paper intuitionistic fuzzy {\psi}-{\phi}-contractive mappings are introduced. Intuitionistic fuzzy Banach contraction theorem for M-complete non-Archimedean intuitionistic fuzzy metric spaces and intuitionistic fuzzy Elelstein contraction theorem for non-Archimedean intuitionistic fuzzy metric spaces by intuitionistic fuzzy {\psi}-{\phi}-contractive mappings are proved.

研究の動機と目的

• 連続的かつ非増加的な ψ および非減少的な φ 関数を用いて、直感的ファジィ収縮写像を一般化する。
• M-完備な非アーベル的直感的ファジィ距離空間における直感的ファジィバナッハ収縮定理を確立する。
• 一般の非アーベル的直感的ファジィ距離空間における直感的ファジィエレルシュタイン収縮定理を証明する。
• これらの一般化された収縮条件の下で不動点の存在と一意性を示す。

提案手法

• 2つの条件を用いて直感的ファジィ ψ-φ-収縮写像を定義する：μ(x,y,t) > 0 のとき ψ(μ(f(x),f(y),t)) ≥ μ(x,y,t)、ν(x,y,t) < 1 のとき φ(ν(f(x),f(y),t)) ≤ ν(x,y,t)。
• 連続的 t-ノルム ∗ および t-コノルム ⋄ を用いて、修正された三角不等式を備えた非アーベル的直感的ファジィ距離空間を定義する。
• M-コーシー列の定義と、t → ∞ のとき μ(xₙ,x,t) → 1 および ν(xₙ,x,t) → 0 となる極限による収束を用いる。
• 反復列 {fⁿ(x)} が極限 y に収束し、f(y) = y を満たすことを示すことにより、不動点の存在を証明する。
• ψ および φ の連続性と非アーベル的性質を用いて、複数の不動点が存在すると仮定した場合の矛盾を導出する。
• コンパクト空間における逐次収束に関する補題 4.2 を活用し、f による極限の保存性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的バナッハ収縮原理は、一般化された ψ-φ 収縮条件を用いて直感的ファジィ距離空間へ拡張可能か？
• RQ2 M-完備な非アーベル的直感的ファジィ距離空間における直感的ファジィ ψ-φ-収縮写像は、一意な不動点を持つか？
• RQ3 エレルシュタイン型収縮結果は、非アーベル的設定における直感的ファジィ ψ-φ-収縮写像へ一般化可能か？
• RQ4 ψ および φ にどのような条件を課すと、この枠組みにおいて収束性と不動点の一意性が保証されるか？

主な発見

• M-完備な非アーベル的直感的ファジィ距離空間における直感的ファジィバナッハ収縮定理が証明され、ψ-φ-収縮条件の下で不動点の存在と一意性が保証される。
• 一般の非アーベル的直感的ファジィ距離空間における直感的ファジィエレルシュタイン収縮定理が確立され、再び一意な不動点が保証される。
• 不動点の一意性は背理法により示される：2つの異なる不動点が存在すると仮定すると、ψ および φ 条件を厳密に満たさない不等式が生じる。
• 反復列 {fⁿ(x)} の収束は、M-コーシー列の議論と f による極限の保存性を用いて証明される。
• コンパクトな非アーベル的空間では、不動点は反復列の収束する部分列の極限として得られ、ψ および φ の連続性により一貫性が保証される。
• アブドル・モハマドおよびドレル・ミヘトの先行研究を一般化し、ψ および φ 関数を用いてより広範な収縮写像のクラスを導入した。