[論文レビュー] Intuitionistic Gödel-Löb Logic, à la Simpson: Labelled Systems and Birelational Semantics

Anupam Das, Iris van der Giessen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2023

Logic, programming, and type systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Simpsonの手法に従い、ラベル付きシーケント体系と二関係的意味論を用いて、直感的論理版のゲーデル＝ロブ論理（IGL）を展開する。非wellfoundedな古典的GLのための体系を右辺に一つの論理式のみを許容する形に制限することで、ラベル付き計算体系ℓIGLを導入し、直感的順序とモダリティ的到達可能性関係の合成が逆にwellfoundedであるという意味的条件に関して、ℓIGLが完全であることを証明する。

ABSTRACT

We derive an intuitionistic version of Gödel-Löb modal logic (GL) in the style of Simpson, via proof theoretic techniques. We recover a labelled system, ℓIGL, by restricting a non-wellfounded labelled system for GL to have only one formula on the right. The latter is obtained using techniques from cyclic proof theory, sidestepping the barrier that GL’s usual frame condition (converse well-foundedness) is not first-order definable. While existing intuitionistic versions of GL are typically defined over only the box (and not the diamond), our presentation includes both modalities. Our main result is that ℓIGL coincides with a corresponding semantic condition in birelational semantics: the composition of the modal relation and the intuitionistic relation is conversely well-founded. We call the resulting logic IGL. While the soundness direction is proved using standard ideas, the completeness direction is more complex and necessitates a detour through several intermediate characterisations of IGL.

研究の動機と目的

• ゲーデル＝ロブ論理（GL）の構成的・直感的版を、従来のボックス論理に限定されたものとは異なり、ボックスとダイアモンドの両方のモダリティを含む形で開発すること。
• 古典的GLのフレーム条件（逆にwellfounded）が一階論理で定義可能でないという課題を、非wellfounded証明理論を用いることで克服すること。
• 非wellfoundedラベル付き体系を制限して得られる句法的計算体系ℓIGLを確立し、カット除去と完全性を保証すること。
• 直感的順序とモダリティ的到達可能性関係の合成が逆にwellfoundedであるという条件を課した二関係的モデルを用いて、対応する意味論的枠組みを定義すること。
• 句法的体系ℓIGLと意味論的論理IGLの同値性を証明することで、IGLがGLの標準的直感的拡張として正当化されることを示すこと。

提案手法

• Simpsonの循環的証明にインspiredされた進行条件を導入することで、K4に拡張した非wellfoundedラベル付き体系ℓGLを構築し、古典的GLのためのものとする。
• ℓGLを右辺に一つの論理式のみを許容する形に制限することで、直感的証明のみを許容する直感的計算体系ℓIGLを導出する。
• 部分順序≤（直感的）とモダリティ的到達可能性関係Rを組み合わせた二関係的意味論を直感的モダリティ論理のためのものとして定義し、≤;Rが逆にwellfoundedであるという条件を課す。
• 標準的手法とカット除去を用いて、ℓIGLがこの意味論に関して健全であることを証明する。
• 無限大証明の管理のため、バーホイプとトレース保存を用いた中間的特徴づけを通じて、完全性を確立する。
• コンラッドの補題とバーホイプを用いて、無限大カット除去を有限ステップに還元し、∞-証明における部分的カット除去と次数低下を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボックスとダイアモンドの両方のモダリティを含む、完全な直感的ゲーデル＝ロブ論理の開発は可能か？
• RQ2 古典的GLのフレーム条件（逆にwellfounded）が、直感的設定においてどのように再定式化可能か？
• RQ3 非wellfounded証明とラベル付きシーケントを用いて、直感的GLにおけるカット除去と完全性を達成することは可能か？
• RQ4 結果として得られる論理IGLは、古典的GLのゲーデル＝ゲンツェンの負の翻訳を満たすか？
• RQ5 直感的GLの正確な意味的条件は何か？ そして、これは句法的計算体系とどのように関係するか？

主な発見

• 右辺に一つの論理式のみを許容する形に制限した非wellfounded体系からの導出であるラベル付き体系ℓIGLは、二関係的意味論に関して健全かつ完全である。
• 完全性の結果は、無限大証明の次数低下に関する議論を含む中間的特徴づけを通じて確立された。
• バーホイプとトレース保存を用いることで、ℓIGLにおけるカット除去が達成され、進行情報が交換的カット還元の過程でも維持されることを保証する。
• 主な技術的洞察は、Lemma 43（トレース保存）であり、これは、交換的ケースによって進行点が上昇しても、進行点がカット除去の過程で保持されることを保証する。
• IGLの意味的条件は、直感的順序≤とモダリティ的到達可能性関係Rの合成が逆にwellfoundedであることである。これは、古典的GLのフレーム条件を一般化する。
• IGLがゲーデル＝ゲンツェンの負の翻訳を通じて古典的GLを解釈できることを示し、構成的モダリティ論理における主要な望ましい性質を満たす。