[論文レビュー] Intuitionistic modal logic based on neighborhood semantics without superset axiom

Tomasz Witczak|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、包含公理を含まないネIGHボラヒッド意味論に基づく、新規の直感的モーダル論理（IML1）を提示する。最小および最大のネIGHボラヒッドを用いて、必要性に類する作用素Δ（necessity-like）と非双対的可能作用素∇（non-dual possibility）を定義し、新たな含意関手⇝を導入する。本稿では、帰納的モデルによる健全性・完全性および有限モデル性を、単一モーダル断片について確立する。また、IML1と古典的モーダル論理CL2.4との間の翻訳を示している。

ABSTRACT

In this paper we investigate certain systems of propositional intuitionistic modal logic defined semantically in terms of neighborhood structures. We discuss various restrictions imposed on those frames but our constant approach is to discard superset axiom. Such assumption allows us to think about specific modalities $Δ, abla$ and new functor $ ightsquigarrow$ depending on the notion of maximal neighborhood. We show how it is possible to treat our models as bi-relational ones. We prove soundness and completeness of proposed axiomatization by means of canonical model. Moreover, we show that finite model property holds. Then we describe properties of bounded morphism, behavioral equivalence, bisimulation and n-bisimulation. Finally, we discuss further researches (like some interesting classical cases and particular topological issues).

研究の動機と目的

• 包含公理を含まない直感的モーダル論理のネIGHボラヒッド意味論を構築し、モーダル作用素のより柔軟な取り扱いを可能にする。
• Δおよび∇という新規のモーダル作用素と、最大ネIGHボラヒッドに基づく新規の含意関手⇝を定義・考察する。
• 帰納的モデルを用いた健全性および完全性の証明を、提案されたシステムIML1について行い、その有限モデル性を確立する。
• 最大ネIGHボラヒッドと位相空間との対応関係を探索し、二重関係的視点を形式化する。
• 直感的モーダル論理IML1と古典的モーダル論理CL2.4との間の翻訳を確立し、両者の論理的相互翻訳可能性を示す。

提案手法

• nIML1フレームを、世界の空でない集合Wと、特定の公理（→-条件、Δ-条件、相対的包含公理）を満たす関数N:W→P(P(W))からなる構造⟨W, N⟩として定義する。
• 最小ネIGHボラヒッド条件を満たすように、V:PV→P(W)を valuation として導入する。すなわち、w∈V(q) ならば ∩Nw⊆V(q) が成り立つ。
• ∩Nwおよび∪Nwを用いて、直感的含意、否定、およびモーダル作用素Δの強制関係を定義し、直感的意味論を保証する。
• すべての妥当な論理式が導出可能であることを保証するため、素理論に基づく帰納的モデルを構築し、完全性を証明する。
• 新たな宇宙W̅上に双対モデルM̅を定義することで二重関係的モデルを構築し、最小ネIGHボラヒッドに対応する世界を導入することで、古典的モーダル論理への翻訳を可能にする。
• IML1から古典論理CL2.4への翻訳∗を定義し、φ∈IML1 iff φ∗∈CL2.4 が成り立つことを示す。モデル対応関係と強制保存性を用いて同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包含公理を含まないネIGHボラヒッド意味論を用いて、直感的モーダル論理をどのように定式化できるか？
• RQ2 新規のモーダル作用素Δおよび∇の論理的性質は何か？また、標準的モーダル作用素とはどのように異なるか？
• RQ3 帰納的モデルを用いて、直感的モーダル論理IML1の健全かつ完全な公理体系を確立できるか？
• RQ4 IML1は有限モデル性を満たすか？その証明はどのように行われるか？
• RQ5 IML1と古典的モーダル論理CL2.4との関係は何か？また、両者の間で忠実な翻訳を定義できるか？

主な発見

• 帰納的モデルの構築により、IML1がネIGHボラヒッド意味論に関して健全かつ完全であることが証明された。
• IML1は有限モデル性を満たしており、任意の充足可能な論理式が有限モデルを持つことが保証されている。
• 拡張されたシステムにおいてΔφ→ΔΔφが成立し、これが古典論理CL2.4への翻訳を可能にする。
• 二重関係的モデルの構築により、IML1を古典的モーダル論理CL2.4に翻訳でき、φ∈IML1 iff φ∗∈CL2.4 が成り立つ。
• 最大ネIGHボラヒッドに基づき定義された新規の関手⇝は、標準的含意とは異なる振る舞いを示す新規の直感的含意を提供する。
• 包含公理を回避しつつも、重要なモーダル的および直感的性質を保ち、位相的解釈を含むより豊かなモデル理論的構造を可能にする。