[論文レビュー] Intuitive Proof of Black-Scholes Formula Based on Arbitrage and Properties of Lognormal Distribution

Alexei Krouglov|ArXiv.org|Dec 3, 2006

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アービテージ原理と資産価格の対数正規分布の性質を用いて、ヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズ式の直感的な導出を提示する。対数正規確率変数の性質とリスクニュートラル価格付けを活用することで、著者は、数学的専門知識がなくても理解できる、技術的でないブラック・ショールズ方程式への道筋を提示する。これにより、金融の基礎的モデルが学生や非数学者にとってよりアクセスしやすくなる。

ABSTRACT

Presented is intuitive proof of Black-Scholes formula for European call options, which is based on arbitrage and properties of lognormal distribution. Paper can help students and non-mathematicians to better understand economic concepts behind one of the biggest achievements in modern financial theory.

研究の動機と目的

• 専門外の人々向けに、ブラック・ショールズ・オプション・プライシング式の理解しやすい直感的説明を提供すること。
• ブラック・ショールズ式が、アービテージの議論と資産価格の対数正規分布の性質から自然に導かれる仕組みを示すこと。
• オプション・プライシング理論における金融的直感と数学的厳密性のすきまを埋めること。
• 高度な数学的訓練を受けない学生や実務家が、現代金融経済学の基盤の一つであるブラック・ショールズ・モデルを簡略化して理解できるようにすること。

提案手法

• 株価が幾何 Browndian 動きに従うという仮定から出発し、リターンが対数正規分布に従うことを示す。
• 無套利原則を適用して、オプションのヘッジ・ポジション（オプションのヘッド・ポジションと標的資産のショート・ポジションの組み合わせ）からリスクフリーなポートフォリオを構築する。
• 対数正規分布のモーメント生成関数を用いて、リスクニュートラル測度下での期待ペイオフを計算する。
• 動的ヘッジとリスクニュートラル価格付けを用いてブラック・ショールズ偏微分方程式を導出する。
• ペイオフの期待値を累積正規分布関数に変換することでPDEの解を得る。
• 最終的な式は、C = S₀N(d₁) − Xe⁻ʳᵀN(d₂) として表され、対数正規分布の性質に基づく確率的推論によって導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アービテージと対数正規分布の基本的原則のみを用いて、ブラック・ショールズ式をどのように導出できるか？
• RQ2 株価の対数正規分布とブラック・ショールズ・オプション・プライシング式との間には、どのような直感的つながりがあるか？
• RQ3 高度な確率的計算を避け、確率的直感に依存することで、ブラック・ショールズモデルを理解できるか？
• RQ4 対数正規分布の仮定と無套利条件から、リスクニュートラル価格付けがどのように自然に導かれるか？

主な発見

• ブラック・ショールズ式は、複雑な確率的計算を避け、株価の対数正規分布と無套利原則のみを用いて導出可能である。
• ヨーロピアン・コール・オプションの期待ペイオフは、標準正規分布の累積分布関数を用いて計算され、これは株価リターンの対数正規変換に起因する。
• リスクニュートラル測度は、対数正規分布のモーメント生成関数の使用を通じて、暗黙的に構築されている。
• 最終的なオプション価格は、C = S₀N(d₁) − Xe⁻ʳᵀN(d₂) として表され、d₁ と d₂ は対数正規分布のパrameterと無リスク金利から導出される。
• この導出は、対数正規分布の仮定のもとで、動的ヘッジと市場の完全性がブラック・ショールズ式と整合的であることを確認している。