[論文レビュー] Invariance measures of stochastic 2D Navier-Stokes equations driven by $\alpha$-stable processes

Zhao Dong, Lihu Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Lévy測度にθ次のモーメント条件(Hθ)を課した一般の円形Lévy過程（α安定過程を含む）によって駆動される2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の適切性を確立する。エネルギー推定とBogoliubov-Krylovの補題を用いて不変測度の存在を証明し、ガウスでない、ジャンプ駆動の乱流モデルに一般化された無限次元Lévyノイズを含む古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

In this note we prove the well-posedness for stochastic 2D Navier-Stokes equation driven by general L\'evy processes (in particular, $\alpha$-stable processes), and obtain the existence of invariant measures.

研究の動機と目的

• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の適切性理論を、有限な2階モーメントを持たないα安定過程を含む一般のLévyノイズへと拡張すること。
• 不連続でジャンプ駆動の確率的偏微分方程式系としての解の不変測度の存在を確立すること。
• α安定ノイズに起因する無限大の分散のため、古典的手法のエネルギー推定が破綻する問題に対処するため、新しいθ次のモーメント推定を導入すること。
• Hilbert空間における発散なしベクトル場の空間に値をとる円形Lévy過程を伴う2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、厳密なパスごとの解理論を構築すること。

提案手法

• θ ∈ (0,1] におけるLévy測度および係数の一般化されたモーメント条件(Hθ)を導入し、H0におけるノイズの可積分性を保証する。
• H−1における右連続で左極限を持つ関数の空間上のSkorokhod位相を用いて、近似列の弱収束およびtightnessを扱う。
• Aldousのtightness基準および修正版Bogoliubov-Krylovの補題を適用し、不変測度の存在を証明する。
• Lévy-Itô分解を用いて、円形Lévy過程を補正付きポアソン積分と大きなジャンプの和に表現する。
• エネルギー法およびH"olderの不等式を用いて、(Hθ)条件を活用し、H0およびH1ノルムにおけるa priori推定を確立する。
• Skorokhod埋め込みおよびFatouの補題を用いて、近似列における極限を取ることで、解が法則的にSPDEを満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な2階モーメントを持たないα安定Lévyノイズによって駆動される2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式は、適切性を有するか？
• RQ2 ノイズが純粋に不連続的かつ非ガウス的であっても、解過程は一般のLévyノイズのもとで不変測度を有するか？
• RQ3 α安定ノイズに起因する有限分散の欠如に対処するため、古典的手法のエネルギー推定をどのように修正できるか？
• RQ4 Lévy測度のどのモーメント条件が、H0における解の右連続で左極限を持つバージョンの存在を保証するか？
• RQ5 不変測度は一意的か、それとも与えられたノイズ仮定のもとで系はエルゴディック性を示すか？

主な発見

• 条件(Hθ)のもとで、一般の円形Lévy過程によって駆動される2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式は、H0における右連続で左極限を持つパスを有する一意的な強い解を有する。
• 解は次のa priori推定を満たす：E[sup_{s∈[0,t]} ||u_s||_θ^θ] + E[∫₀ᵗ ||∇u_s||₀² (||u_s||₀² + 1)^{1−θ/2} ds] ≤ C(1 + ||ϕ||₀^θ + t)，ここでCは(Hθ)およびθに依存する。
• 古典的手法によるBogoliubov-Krylovの補題を用いて、(H₀, B(H₀)) 上の不変測度µの存在が確立される。この証明はa priori推定に依存する。
• 不変測度は次の不変性を満たす：∫ H₀ E[Φ(u_t(ϕ))] µ(dϕ) = ∫ H₀ Φ(ϕ) µ(dϕ) すべての有界可測なΦに対して成り立つ。
• (Hθ)条件により、E||L_t||₀^θ < ∞ が保証され、H₀におけるLévy過程の右連続で左極限を持つバージョンの存在が保証される。
• 証明は、D(R₊; H₋₁)におけるtightness、弱収束、およびSkorokhod埋め込みとFatouの補題を用いた極限操作に依存し、SPDEの構造が保たれる。