[論文レビュー] Invariance of Convex Sets for Non-autonomous Evolution Equations Governed by Forms

Wolfgang Arendt, Dominik Dier+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、セスキリニア形式によって支配される非自己同型進化方程式における閉凸集合の不変性のための新しい基準を確立する。もし凸集合への直交射影が形式の定義域を保存し、形式と外部力に関して特定の不等式を満たすならば、その集合に初期値を持つ解はすべての時間にわたりその集合にとどまる。主な貢献は、既知の不変性基準を非自己同型および非同次設定に拡張したことである。

ABSTRACT

We consider a non-autonomous form $\\fra:[0,T]\ imes V\ imes V \ o \\C$ where $V$ is a Hilbert space which is densely and continuously embedded in another Hilbert space $H$. Denote by $\\A(t) \\in \\L(V,V')$ the associated operator. Given $f \\in L^2(0,T, V')$, one knows that for each $u_0 \\in H$ there is a unique solution $u\\in H^1(0,T;V')\\cap L^2(0,T;V)$ of $$\\dot u(t) + \\A(t) u(t) = f(t), \\, \\, u(0) = u_0.$$ %\\begin{align*} %&\\dot u(t) + \\A(t)u(t)= f(t)\\ %& u(0)=u_0. %\\end{align*} This result by J. L. Lions is well-known. The aim of this article is to find a criterion for the invariance of a closed convex subset $\\Conv$ of $H$; i.e.\\ we give a criterion on the form which implies that $u(t)\\in \\Conv$ for all $t\\in[0,T]$ whenever $u_0\\in\\Conv$. In the autonomous case for $f = 0$, the criterion is known and even equivalent to invariance by a result proved in \\cite{Ouh96} (see also \\cite{Ouh05}). We give applications to positivity and comparison of solutions to heat equations with non-autonomous Robin boundary conditions. We also prove positivity of the solution to a quasi-linear heat equation.

研究の動機と目的

• 非自己同型進化方程式（形式によって支配される）における閉凸部分集合 𝒞 ⊂ H の不変性の十分条件を確立すること。
• 既知の不変性基準を非自己同型および非同次設定に、非自己同型系から拡張すること。
• 時変パラメータをもつ放物型偏微分方程式（ロビン境界条件付き）の解の正値性と比較の特徴づけを提供すること。
• 開発した枠組みを用いて、準線形熱方程式の正値性を証明すること。
• [DL88] における初期値問題の解の正値性に関する誤った証明を是正・一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、ヒルバート空間 V に強く連続的に埋め込まれた空間 H 上の非自己同型閉形式 𝔞(t,⋅,⋅) の枠組みで作業する。
• 双対性ペアリング ⟨A(t)u, v⟩ = 𝔞(t, u, v) を用いて、A(t) ∈ ℒ(V, V′) を定義する。
• リオンズの最大正則性理論を用い、初期値問題 ẋ(t) + A(t)x(t) = f(t), x(0) = x₀ に対して、u ∈ H¹(0,T; V′) ∩ L²(0,T; V) における解の存在と一意性を確立する。
• 中心的な手法は、凸集合 𝒞 への直交射影 P を含む変分不等式を導出することであり、すべての v ∈ V に対して Re 𝔞(t, Pv, v−Pv) ≥ Re⟨f(t), v−Pv⟩ を要求する。
• 初期データ x₀ ∈ 𝒞 かつ不等式が成り立つならば、すべての t ∈ [0,T] に対して u(t) ∈ 𝒞 であることを証明する。
• 証明は、Sobolev埋め込みのベクトル値版と弱微分の特徴づけに依拠し、解と射影の合成のリプシッツ連続性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己同型進化方程式（形式によって支配される）の解が、与えられた閉凸集合にすべての時間にわたりとどまるための条件は何か？
• RQ2 非自己同型および非同次設定において、非自己同型系における古典的不変性基準をどのように拡張できるか？
• RQ3 時変パラメータをもつ放物型偏微分方程式（非自己同型ロビン境界条件付き）の解の正値性を保証する条件は何か？
• RQ4 不変性基準を用いて、異なる初期値問題の解同士の比較原理を証明できるか？
• RQ5 f = 0 の非自己同型系において、不変性基準は必要十分条件か？

主な発見

• 本論文は、不変性のための新しい十分条件を確立した：P(V) ⊆ V かつすべての v ∈ V に対して Re 𝔞(t, Pv, v−Pv) ≥ Re⟨f(t), v−Pv⟩ が成り立つならば、u₀ ∈ 𝒞 ならばすべての t ∈ [0,T] に対して u(t) ∈ 𝒞 である。
• f = 0 の場合、この基準は非自己同型系における既知の必要十分条件に還元され、[Ouh96] の結果を一般化する。
• この基準は解の正値性を特徴づける：u₀ ≥ 0 かつ f(t) ≥ 0 几乎 everywhere ならば、すべての t ∈ [0,T] に対して u(t) ≥ 0 であることは、正の錐に対して形式が不変性条件を満たすことと同値である。
• 著者たちは、正の錐に対して不変性条件を満たすことを検証することで、準線形熱方程式の正値性を証明した。
• 非自己同型ロビン境界条件への応用では、正値性と解の比較が、同じ形式に基づく基準によって特徴づけられることが示された。
• 本結果は、半群の文脈における初期値問題の解の正値性に関する [DL88] の誤った証明を是正した。