[論文レビュー] Invariance of multifractal spectrum of uniform self-affine measures and its applications

Hui Rao, Ya-min Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全に分離された Bedford-McMullenカーペット上の一様ベルヌーイ測度の多重フラクタルスペクトルおよび二重性（doubling property）が、双リプシッツ写像のもとで不変であることを確立している。二つのこのようなカーペットが双リプシッツ同値であるならば、それらの一様測度は同一の多重フラクタルスペクトルおよび二重性を持つ必要があり、自己相似カーペットのリプシッツ分類における新たな不変量を提供する。

ABSTRACT

We study the bi-Lipschitz classification of Bedford-McMullen carpets which are totally disconnected. Let $E$ be a such carpet and let $μ_E$ be the uniform Bernoulli measure on $E$. We show that the multifractal spectrum and the doubling property of $μ_E$ are both invariant under a bi-Lipschitz map. Moreover, we show that if $μ_E$ and $μ_F$ are doubling, then a bi-Lipschitz map between $E$ and $F$ enjoys a certain measure preserving property.

研究の動機と目的

• 自己相似カーペットの分類のための新しい双リプシッツ不変量を、特に完全に分離された場合に開発すること。
• 非正則なカーペットにおいて無限大となるため、ハウスドルフ測度に代えて一様ベルヌーイ測度の双リプシッツ写像下での挙動を調査すること。
• 一様測度の多重フラクタルスペクトルおよび二重性が双リプシッツ同値のもとで保存されることを確立すること。
• 完全に分離された自己相似カーペット間の双リプシッツ写像が、一様定数の範囲内で測度を保存する挙動を誘導することを証明すること。
• p進付値技術を用いて、非同型の分布列の状況で矛盾を導出し、同値関係下でのスペクトルの一意性を証明すること。

提案手法

• 自己相似カーペット E における一様ベルヌーイ測度 μ_E を、重みが等しい 1/N である IFS における不変測度として定義する。
• ランク k のシリンダーセットおよび基本長方形を用い、δ-メッシュボックスがシリンダーと交差する回数を μ_E(E_i)δ^{-dim_B E} を用いて推定する。
• 双リプシッツ写像 f: E → F に対して、押し出し測度 μ_F ∘ f が一様定数 ζ を用いて μ_E と一様同値であることを確立する。
• p進付値技術を用いて、f によるシリンダーセットの測度比を分析し、k → ∞ のときの v_p(γ_k) の挙動に注目する。
• p進付値における a_h^* の最小性を用いて測度比を評価し、|μ_F(J_j)/μ_E(U)|_p → 0 を示し、N ≠ N′ の場合に矛盾を導く。
• 双対色ベクトルの構造および IFS のダイナミクスを活用して、粗さのレベル間での測度比を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に分離された自己相似カーペット間の双リプシッツ写像のもとで、一様ベルヌーイ測度の多重フラクタルスペクトルは不変か？
• RQ2 一様ベルヌーイ測度の二重性は、双リプシッツ同値のもとで不変か？
• RQ3 自己相似カーペットの分布列 (a_j) は、その双リプシッツ同値類から回復可能か？
• RQ4 測度比のp進付値は、非同値なカーペットを区別する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 どのような条件下で、双リプシッツ写像は一様ベルヌーイ測度を一様定数の範囲内で保存するか？

主な発見

• 完全に分離された自己相似カーペット間の双リプシッツ写像のもとで、一様ベルヌーイ測度の多重フラクタルスペクトルは不変である。
• 一様ベルヌーイ測度の二重性は、双リプシッツ同値のもとで保存される：μ_E が二重性を持つことと μ_F が二重性を持つことは同値である。
• 二つのカーペット E と F が双リプシッツ同値であるならば、押し出し測度 μ_F ∘ f は一様定数 ζ を用いて μ_E と一様同値である。
• 双リプシッツ写像 f: E → F に対して、すべてのボレル集合 A について、測度比 μ_F(f(A))/μ_E(A) は 0 および ∞ から離れて有界である。
• 分布列 (a_j) と (b_j) が互いに置換でない場合、N ≠ N′ であり、測度比のp進付値は 0 に近づき、矛盾を引き起こす。
• 証明により、N ≠ N′ ならば、ある素数 p に対して v_p(γ_k) → -∞ であることが示され、p進ノルムにおいて測度比が 0 から離れていないことが示され、測度保存性と矛盾する。