[論文レビュー] Invariance principles for conditioned Galton-Watson trees

Igor Kortchemski|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限分散を有する offspring 分布が安定分布の吸引域に属する場合に、固定された大きな数の葉を持つように条件付けられた臨界ガロン＝ワトソン木に対する不変性原理を確立する。再生過程のスケーリングされたルカシエヴィチ経路および輪郭関数が、それぞれ厳密に安定でスペクトル的に正のリーヴィ過程の拡張とその関連する高さ関数に弱収束することを示し、無限分散設定への極限定理の拡張を達成する。

ABSTRACT

We are interested in the asymptotic behavior of critical Galton-Watson trees whose offspring distribution may have infinite variance, which are conditioned on having a large fixed number of leaves. We first find an asymptotic estimate for the probability of a Galton-Watson tree having $n$ leaves. Secondly, we let $t_n$ be a critical Galton-Watson tree whose offspring distribution is in the domain of attraction of a stable law, and conditioned on having exactly $n$ leaves. We show that the rescaled Lukasiewicz path and contour function of $t_n$ converge respectively to $X^{exc}$ and $H^{exc}$, where $X^{exc}$ is the normalized excursion of a strictly stable spectrally positive Levy process and $H^{exc}$ is its associated continuous-time height function. As an application, we investigate the distribution of the maximum degree in a critical Galton-Watson tree conditioned on having a large number of leaves. We also explain how these results can be generalized to the case of Galton-Watson trees which are conditioned on having a large fixed number of vertices with degree in a given set, thus extending results obtained by Aldous, Duquesne and Rizzolo.

研究の動機と目的

• 無限分散を有する offspring 分布を持つ臨界ガロン＝ワトソン木が、固定された大きな数の葉を持つように条件付けられたときの漸近的挙動を分析すること。
• ガロン＝ワトソン木がちょうど n 個の葉をもつ確率の漸近的推定を導出すること。
• スケーリングされた経路関数および輪郭関数の弱収束を、安定拡張およびその高さ関数のものに示すこと。
• アルドウス、デュクエンヌ、リツォロの先行研究を無限分散の場合に拡張し、指定された集合内の次数に条件付けられた場合にまで拡張すること。

提案手法

• 臨界ガロン＝ワトソン過程で、offspring 分布が安定分布の吸引域に属する場合に、葉の数に条件付けられた確率的木の理論の応用。
• 木構造の離散的経路表現として、ルカシエヴィチ経路および輪郭関数の適用。
• ルカシエヴィチ経路および輪郭関数のスケーリングにより、厳密に安定でスペクトル的に正のリーヴィ過程の拡張に弱収束すること。
• 極限過程として正規化された拡張 $X^{\text{exc}}$ 及びその関連高さ関数 $H^{\text{exc}}$ を用いる。
• 無限分散の下で分布収束が成立し、かつ安定分布の吸引域に収束することを仮定する。
• 収束結果を、与えられた集合内の次数を持つ頂点数に条件付けられた木へ一般化し、先行研究を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限分散を有する offspring 分布を持つ臨界ガロン＝ワトソン木が、ちょうど n 個の葉をもつ漸近的確率は何か？
• RQ2 n → ∞ のとき、n 個の葉をもつガロン＝ワトソン木のスケーリングされたルカシエヴィチ経路および輪郭関数はどのように振る舞うか？
• RQ3 無限分散および安定分布の吸引域に収束する条件下で、スケーリングされた経路および輪郭関数の極限過程は何か？
• RQ4 大きな数の葉を持つように条件付けられた臨界ガロン＝ワトソン木における最大次数は、どのように振る舞うか？
• RQ5 収束結果を、指定された集合内の次数を持つ頂点数に条件付けられた木へ拡張できるか？

主な発見

• 臨界ガロン＝ワトソン木がちょうど n 個の葉をもつ確率は、offspring 分布の吸引域に属する安定分布に依存する漸近的推定を持つ。
• 条件付けられた木のスケーリングされたルカシエヴィチ経路は、弱収束して $X^{\text{exc}}$ に、すなわち厳密に安定でスペクトル的に正のリーヴィ過程の正規化された拡張に収束する。
• スケーリングされた輪郭関数は、弱収束して $H^{\text{exc}}$ に、すなわち $X^{\text{exc}}$ に関連する連続時間の高さ関数に収束する。
• 臨界ガロン＝ワトソン木の最大次数の分布は、n → ∞ の極限において特徴づけられる。
• 収束結果は、与えられた集合内の次数を持つ頂点数に条件付けられた木へ一般化され、アルドウス、デュクエンヌ、リツォロの先行研究が拡張される。
• $X^{\text{exc}}$ および $H^{\text{exc}}$ の極限過程は、無限分散の下でのこのような条件付けられたガロン＝ワトソン木のスケーリング極限を普遍的に記述する。