[論文レビュー] Invariance principles for standard-normalized and self-normalized random fields

Mohamed El Machkouri, Lahcen Ouchti|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Feb 7, 2005

Analysis of environmental and stochastic processes参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$[0,1]^d$ 内の集合によってインデックス付けられた、定常ランダムフィールドの標準正規化および自己正規化部分和過程に対して不変性原理を確立する。弱いエントロピー条件の下で、可積分性またはブレケットエントロピー条件の下で、ブラウン運動への弱収束を証明し、独立でない非 i.i.d. フィールド、特にマルティングル-ディファレンスおよび混合過程への関数中心極限定理を拡張する。

ABSTRACT

We investigate the invariance principle for set-indexed partial sums of a stationary field $(X\_{k})\_{k\in\mathbb{Z}^{d}}$ of martingale-difference or independent random variables under standard-normalization or self-normalization respectively.

研究の動機と目的

• 定常ランダムフィールドの集合インデックス部分和過程に対する関数中心極限定理（FCLT）を確立すること。
• 既存の不変性原理を、マルティングル-ディファレンスや $\phi$-混合フィールドのような弱い自己相関を持つ場合に拡張すること。
• 一様可積分エントロピーおよびブレケットエントロピーを含む最小限のエントロピー条件の下での収束を調査すること。
• ランダムフィールドにおける弱収束において、自己正規化と標準正規化の役割を分析すること。
• FCLT がより弱いエントロピー条件の下で失敗する可能性があることを示す反例を提示し、エントロピー仮定の必要性を強調すること。

提案手法

• 立方体 $R_i$ 上での集合インデックス和に対して、滑らかにした部分和過程 $S_n(A) = \sum_{i \in \{1,\dots,n\}^d} \lambda(nA \cap R_i) X_i$ を用いる。
• インデックスクラス $\mathcal{A}$ の複雑さを測るために、メトリックエントロピー $H(\mathcal{A}, \rho, \varepsilon)$ およびブレケットエントロピー $\mathbb{H}(\mathcal{A}, \rho, \varepsilon)$ を使用する。
• ブラウン運動が $\mathcal{A}$ 上に存在するためのダドリーのエントロピー積分条件 $\int_0^1 \sqrt{H(\mathcal{A}, \rho, \varepsilon)}\, d\varepsilon < \infty$ を適用する。
• FCLT の十分条件として、一様可積分エントロピー条件 $\int_0^1 \sqrt{\log N(\mathcal{A}, \varepsilon)}\, d\varepsilon < \infty$ を導入する。
• 非一様混合フィールドの尾確率を制御するために、チェインニングおよびベルヌーイ型不等式を用いる。
• 集合の列 $A_r(\omega)$ および事象 $W_r$ を用いて反例を構成し、弱い条件の下で緊密性が失敗することを示す。ここで $\mu(W_r) \geq c > 0$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのエントロピー条件下で、正規化された部分和過程 $n^{-d/2} S_n(A)$ が $\mathcal{A}$ によってインデックス付けられたブラウン運動に弱収束するか？
• RQ2 最小限のモーメントおよび自己相関仮定の下で、マルティングル-ディファレンスまたは $\phi$-混合ランダムフィールドに対して関数中心極限定理を拡張できるか？
• RQ3 一様可積分エントロピー条件 $\int_0^1 \sqrt{\log N(\mathcal{A}, \varepsilon)}\, d\varepsilon < \infty$ は、依存性を持つランダムフィールドの場合に FCLT のための十分条件となるか？
• RQ4 エントロピー条件が満たされない場合には何が起こるか？FCLT が失敗する可能性がある反例を構成できるか？
• RQ5 自己正規化は、ランダムフィールドにおける標準正規化と比較して、収束挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 一様可積分エントロピー条件 $\int_0^1 \sqrt{\log N(\mathcal{A}, \varepsilon)}\, d\varepsilon < \infty$ の下で、i.i.d. またはマルティングル-ディファレンスのランダムフィールドに対して関数中心極限定理が成立する。
• $\phi$-混合フィールドが多項式減衰を示し、四次のモーメントが有限である場合、ブレケットエントロピー条件 $\int_0^1 \sqrt{\mathbb{H}(\mathcal{A}, \rho, \varepsilon)}\, d\varepsilon < \infty$ の下で FCLT が成立する。
• 事象 $W_r$ に対して $\mu(W_r) \geq c > 0$ であり、$|n_r^{-d/2} S_{n_r}(A_r)| \geq 1/2$ が $W_r$ 上で成り立つような反例が構成され、弱いエントロピー条件の下で緊密性が失敗することが示された。
• 任意の $\delta > 0$ に対して、$\delta$-近接な集合の上での正規化過程の上限の極限上界が $\limsup_{n \to \infty} \mu(\sup_{\rho(A,B)<\delta} |n^{-d/2}(S_n(A) - S_n(B))| \geq 1/2) \geq c > 0$ を満たすため、非緊密性が示された。
• 一様可積分エントロピー条件が、ある場合には必要不可欠であることが示された。なぜなら、この条件が満たされない場合には FCLT が成立しないからである。
• 本研究は、より強いエントロピーまたはモーメント条件が課されない限り、$p$-可積分マルティングル-ディファレンスのフィールドでは FCLT が成立しない可能性があることを確認した。