[論文レビュー] Invariance theorems for Nevanlinna families

Vladimir Derkach, Seppo Hassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間における演算子値ハーモニック＝ネヴァンリンナ関数の点スペクトルおよび連続スペクトルに関する不変定理を確立し、虚部にゼロが存在するか、実固有値が存在するといったスペクトル特性が上半平面全体で不変であることを証明する。結果はハルナックの不等式および最大値原理に依拠し、スカラー関数から演算子値関数への古典的スペクトル不変性の拡張を実現する。

ABSTRACT

A complex function $f(z)$ is called a Herglotz-Nevanlinna function if it is holomorphic in the upper half-plane ${\mathbb C}_+$ and maps ${\mathbb C}_+$ into itself. By a maximum principle a Herglotz-Nevanlinna function which takes a real value $a$ in a single point $z_0\in {\mathbb C}_+$ should be identically equal to $a$. In the present note we prove similar invariance results both for the point and the continuous spectra of an operator-valued Herglotz-Nevanlinna function with values in the set of bounded or unbounded linear operators (or relations) in a Hilbert space. The proof of this invariance result for continuous spectrum is based on Harnack's inequality. This inequality is systematically used to characterize operator-valued Herglotz-Nevanlinna functions with form-domain invariance property for their imaginary parts or Herglotz-Nevanlinna functions with values in the Schatten-von Neumann classes.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における演算子値ハーモニック＝ネヴァンリンナ関数の点スペクトルおよび連続スペクトルに関する不変定理を確立すること。
• ハルナックの不等式を用いて虚部のスペクトル不変性および形式領域の性質を特徴付けること。
• スカラー関数に対する古典的最大値原理の結果を、演算子値ハーモニック＝ネヴァンリンナ関数へ拡張すること。
• 点 $ z = i $ における単一の条件によって、部分クラス $ R^s[\fh] $ および $ R^u[\fh] $ のスペクトル的特徴づけを提供すること。
• 対称作用素理論における幾何的および境界三つ組構造とスペクトル不変性の関係を明らかにすること。

提案手法

• 連続スペクトルのスペクトル不変性の証明は、演算子値関数の虚部にハルナックの不等式を適用することに依拠する。
• 演算子値測度を用いたハーモニック＝ネヴァンリンナ関数の積分表現を用いて、スペクトル挙動を分析する。
• 主な技術には最大値原理および非負の核理論があり、虚部の核および像の分析に用いられる。
• セミリニア形式およびその閉包を用いて、形式領域に依存しない形で演算子値関数の虚部を定義する。
• シュレーディンガー＝フォン・ノイマンクラスを用いて、虚部がトレースクラスである関数を特徴付ける。
• 境界三つ組およびウェイル関数の実現を用いて、スペクトル不変性を幾何的に解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーモニック＝ネヴァンリンナ関数の虚部の点スペクトルにゼロが存在するかどうかが、上半平面全体で不変であるか。
• RQ2 演算子値ハーモニック＝ネヴァンリンナ関数の虚部の連続スペクトルが、上半平面における解析接続のもとで不変であるか。
• RQ3 関数 $ F(z) $ のスペクトル不変性特性が、その虚部の形式領域にどの程度依存するか。
• RQ4 部分クラス $ R^s[\fh] $ および $ R^u[\fh] $ は、点 $ z = i $ における単一の条件によってどのように特徴づけられるか。
• RQ5 ハルナックの不等式は、演算子値ネヴァンリンナ族の連続スペクトルの不変性を証明する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 関数 $ F(z) $ の虚部の点スペクトルは $ \bbC_+ $ 全体で不変である：$ 0 \notin \rho(\text{Im}\thinspace F(z_0)) $ であることと、すべての $ z \neq \bbR $ に対して $ 0 \notin \rho(\text{Im}\thinspace F(z)) $ であることは同値である。
• 虚部の連続スペクトルは不変である：$ 0 \notin \rho(\text{Im}\thinspace F(z_0)) $ ならば、すべての $ z \neq \bbR $ に対して $ 0 \notin \rho(\text{Im}\thinspace F(z)) $ である。
• 関数 $ F(z) $ の実スペクトルは不変である：$ a \notin \rho(F(z_0)) $ であることと、すべての $ z \neq \bbR $ に対して $ a \notin \rho(F(z)) $ であることは同値である。
• クラス $ R^s[\fh] $ は $ \text{ker}\thinspace \text{Im}\thinspace F(i) = \{0\} $ で特徴づけられ、$ R^u[\fh] $ は $ 0 \notin \rho(\text{Im}\thinspace F(i)) $ で特徴づけられる。
• $ G_\f(z) $ に対して、虚部の連続スペクトルには $ [0, \f) $ が含まれ、すべての $ z \neq \bbR $ に対して $ 0 \notin \rho(G_\f(z)) $ である。
• コンパクトな解像作用素の場合は、$ s_j((G_\f(z))^{-1}) = O(j^{-2}) $ であり、これはトレースクラスの挙動を示している。