[論文レビュー] Invariant, anti-invariant and slant submanifolds of a metallic Riemannian manifold

Adara M. Blaga, Cristina E. Hreţcanu|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、金属的リーマン多様体内の不変、反不変、およびスラント部分多様体を調査し、金属的構造 $J$ によって誘導される標準的な $Σ$-構造を導入する。また、$E^{a+b}$ に等長埋め込みされた際、球面の積 $S^{a-1}(r_1) \times S^{b-1}(r_2)$ が誘導テンソル $T$ を通じて金属的リーマン構造を引き継ぐことを証明し、不変部分多様体としての性質を確認する。$J$ の法成分および誘導構造の性質について明示的な式が得られる。

ABSTRACT

Properties of invariant, anti-invariant and slant isometrically immersed submanifolds of metallic Riemannian manifolds are given with a special view towards the induced $Σ$-structure. Examples of such metallic manifolds are also given.

研究の動機と目的

• 金属的リーマン多様体内の不変、反不変、およびスラント部分多様体を特徴づけること。
• 誘導された $\Sigma$-構造を通じた部分多様体への金属的構造の継承を研究すること。
• 等長埋め込みされた部分多様体における誘導金属的構造の幾何学的および代数的性質を確立すること。
• 球面の積 $S^{a-1}(r_1) \times S^{b-1}(r_2)$ を含む、金属的リーマン多様体の明示的例を提供すること。
• 部分多様体上での金属的構造 $J$ の接成分および法成分への分解における挙動を分析すること。

提案手法

• ガウスおよびヴァインガルテンの式を用いて、部分多様体上での金属的構造 $J$ を接成分（$T$）および法成分（$N$）に分解する。
• 部分多様体上に誘導構造 $(T, \langle\cdot,\cdot\rangle, 0, 0, 0, 0, \mathcal{A})$ を定義し、ここで $\mathcal{A}$ は $J$ の法成分を符号化する。
• 一般化された第二種フィボナッチ数列 $\{g_n\}$ を用いて、$J$ のべき乗を $J^n = g_n J + q g_{n-1} I_{\Gamma(TM)}$ として表現する。
• 球面の積 $S^{a-1}(r_1) \times S^{b-1}(r_2)$ を $E^{a+b}$ に埋め込み、接ベクトルおよび法ベクトルへの $J$-作用を計算することで明示的例を構成する。
• 法成分の $\mathcal{A} = \frac{1}{r^2}\begin{pmatrix} \sigma r_1^2 + \overline{\sigma} r_2^2 & r_1 r_2 (\sigma - \overline{\sigma}) \\ r_1 r_2 (\sigma - \overline{\sigma}) & \overline{\sigma} r_1^2 + \sigma r_2^2 \end{pmatrix}$ という行列を導出する。
• $J$ が法バンドルを保存することを確認し、$J(T_x^\perp M) \subseteq T_x^\perp M$ を示すことで、誘導された $T$ が金属的方程式 $T^2 = pT + qI$ を満たすことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーモニック多様体上の金属的リーマン構造が、その部分多様体にどのように構造を誘導するか。
• RQ2 部分多様体が金属的構造 $J$ に関して不変、反不変、またはスラントであるための条件は何か。
• RQ3 部分多様体上の誘導金属的構造 $T$ の形は何か。また、アーモニック $J$ とどのように関係しているか。
• RQ4 球面の積のような明示的例として、金属的リーマン多様体を構成できるか。
• RQ5 部分多様体上での $J$ の法成分は、誘導構造およびアーモニック幾何とどのように関係しているか。

主な発見

• 球面の積 $S^{a-1}(r_1) \times S^{b-1}(r_2)$ は、$J(T_x M) \subseteq T_x M$ を満たすため、$E^{a+b}$ における不変部分多様体である。
• 誘導された接成分 $T$ は $T^2 = pT + qI$ を満たし、部分多様体上での金属的構造であることが確認される。
• 法成分は行列 $\mathcal{A}$ に符号化されており、成分は $a_{11} = \frac{\sigma r_1^2 + \overline{\sigma} r_2^2}{r^2}$、$a_{12} = a_{21} = \frac{r_1 r_2 (\sigma - \overline{\sigma})}{r^2}$、$a_{22} = \frac{\overline{\sigma} r_1^2 + \sigma r_2^2}{r^2}$ である。
• 接成分および法成分の射影は $g(TX, Y) = g(X, TY)$ および $g(nU, V) = g(U, nV)$ を満たし、$T$ および $n$ が計量に関して対称であることが確認される。
• 法バンドルは $J$ によって保存される。$J(T_x^\perp M) \subseteq T_x^\perp M$ であり、これは $JN_k = \xi_k + \sum a_{k\alpha} N_\alpha$ の分解における $\xi_1 = \xi_2 = 0$ に由来する。
• 球面の積 $S^{a-1}(r_1) \times S^{b-1}(r_2)$ 上の誘導構造は、金属的リーマン構造 $(T, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ であり、アーモニック計量 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は $J$ と相性が良い。